《2025年学霸高考黑题物理人教版》

压轴挑战4(偏转问题+交变电场)(2025·安徽期中)(多选)如图甲所示，两平行金属板$A$、$B$的长度为$d$，荧光屏到金属板右端距离也为$d$，两金属板间的电压随时间周期性变化规律如图乙所示。某带电粒子以速度$v_0$从金属板左端$O$点沿板间中线射入极板之间，若$t = 0$时刻进入电场的带电粒子在$t = T$时刻刚好打在荧光屏的中心$O'$处，则(AC)


A.粒子一定带负电
B.粒子打在荧光屏上的$O'$点时速度大小仍为$v_0$
C.粒子受到的电场力大小是重力的$\frac{4}{3}$倍
D.$t=\frac{T}{2}$时刻进入电场的粒子最终也打在荧光屏上的$O'$点

答案： 4.题型分析
带电粒子在交变电场中的运动模型，考查对运动的分解能力，入射时间对运动轨迹的影响。
AC解析：A.粒子进入平行金属板之间后，水平方向做匀速直线运动，A、B的长度为$d$，荧光屏到金属板右端距离也为$d$，即粒子在极板之间运动的时间等于粒子飞出极板后运动至荧光屏的时间，由于$t = T$时刻粒子刚好打在荧光屏的中心$O'$处，则竖直方向一定先向上加速，即开始所受电场力方向向上，离开电场后在重力作用下才可能最终打在荧光屏的中心，由于开始电场方向向下，所以粒子一定带负电，故A正确；B.结合上述可知，粒子在竖直方向上先向上加速，后向上减速至0再向下加速，可知，粒子打在荧光屏上时还有竖直方向上的分速度，所以打在$O'$时速度大于$v_0$，故B错误；C.结合上述可知，粒子在金属板间的运动时间为$\frac{T}{2}$，从$O$到$O'$点在竖直方向上有$\frac{1}{2}a_1(\frac{T}{2})^{2}+a_1· \frac{T}{2}· \frac{T}{2}-\frac{1}{2}a_2(\frac{T}{2})^{2}=0$，解得$a_2 = 3a_1$，其中$a_1=\frac{qE - mg}{m}$，$a_2 = g$，解得粒子受到的电场力大小为$F = qE=\frac{4}{3}mg$，故C正确；D.$t=\frac{T}{2}$时刻进入电场的粒子，在极板间竖直方向先向下做加速运动，$t = T$时刻飞出电场有竖直向下的分速度，之后在重力作用下，竖直方向仍然向下做加速运动，可知，此时粒子不会打在荧光屏上的$O'$点，故D错误。故选AC。

压轴挑战5（偏转问题+组合电场）（2024·山东威海一模）如图所示，矩形$ABCD$区域内存在多层紧邻的匀强电场，每层电场的高度均为$d$，电场强度的大小均为$E$，方向沿图中竖直方向交替变化。$AB$边长为$12d$，$BC$边长为$8d$。质量为$m$、电荷量为$+q$的粒子流从$AB$边中点射入电场，入射角为$\theta$，粒子的初动能为$E_k$，粒子在纸面内运动，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力。
（1）若粒子能从$CD$边射出，求粒子通过电场的时间；
（2）当$E_k = 2qEd$时，粒子从$CD$边射出电场时与轴线$OO'$的距离不大于$d$，求入射角$\theta$的最值；
（3）当$E_k=\frac{8}{3}qEd$时，粒子在$\theta$为$-\frac{\pi}{2}\sim\frac{\pi}{2}$范围内均匀射入电场，求从$CD$边射出的粒子的入射角$\theta$的范围。

答案：
5.题型分析
本题属于带电粒子在空间交变电场中的运动模型。考查对粒子曲线运动的分解、入射角与运动轨迹的关系、对粒子周期性运动的分析及方程化简能力。
(1)$\frac{8d}{\cos\theta}· \sqrt{\frac{m}{2E_k}}$
(2)$45^{\circ}$
(3)$(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4})$
解析：
(1)电场在竖直方向上，粒子所受电场力在竖直方向上，粒子在水平方向上做匀速直线运动，速度分解如图所示，

粒子在水平方向的速度为$v_x = v\cos\theta$，根据$E_k=\frac{1}{2}mv^{2}$，可知$v=\sqrt{\frac{2E_k}{m}}$，解得$t=\frac{8d}{v_x}=\frac{8d}{\cos\theta}· \sqrt{\frac{m}{2E_k}}$
(2)粒子进入电场时的初动能$E_k = 2qEd=\frac{1}{2}mv^{2}$，粒子进入电场沿电场方向做减速运动，由牛顿第二定律可得$qE = ma$，粒子从$CD$边射出电场时与轴线$OO'$的距离不大于$d$，则要求$2ad\geq(v\sin\theta)^{2}$，解得$-\frac{\sqrt{2}}{2}\leq\sin\theta\leq\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以入射角的范围为$- 45^{\circ}\leq\theta\leq45^{\circ}$，故入射角$\theta$有最大值$\theta = 45^{\circ}$。
(3)设粒子从$O$点射入，恰好从$D$点射出，粒子的入射角为$\theta'$，根据题意$\frac{8}{3}qEd=\frac{1}{2}mv_{1}^{2}$，解得粒子的速度$v_1=\frac{4}{3}\sqrt{\frac{3qEd}{m}}$
粒子在水平方向匀速运动，运动时间为$t_{总}=\frac{8d}{v_1\cos\theta'}=\frac{2}{\cos\theta'}\sqrt{\frac{3md}{qE}}$
粒子在沿电场方向，反复做加速大小相同的减速运动、加速运动，位移、时间、速度都具有对称性，粒子通过每段电场的时间$t_0$相等，则$t_0=\frac{1}{6}t_{总}=\frac{1}{6}×\frac{8d}{v_1\cos\theta'}=\frac{4d}{3v_1\cos\theta'}$，又$- 2ad = v_{1d}^{2}-(v_1\sin\theta')^{2}$，$2ad = v_{2d}^{2}-v_{1d}^{2}$，$-2ad = v_{3d}^{2}-v_{2d}^{2}$，$2ad = v_{2d}^{2}-v_{3d}^{2}$，则$v_{2d}=v_{4d}=v_{6d}=v_1\sin\theta'$，$v_{1d}=v_{3d}=v_{5d}$且$d=(v_1\sin\theta')· t_0-\frac{1}{2}· \frac{qE}{m}· t_0^{2}$，代入数据化简可得$6\cos^{2}\theta'-8\sin\theta'\cos\theta'+1 = 0$，即$\tan^{2}\theta'-8\tan\theta'+7 = 0$，解得$\tan\theta' = 7$(舍去)或$\tan\theta' = 1$，故$\theta'=\frac{\pi}{4}$，故入射角的范围为$(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4})$。
解题技巧：本题认识到粒子在相邻两个长度相等、场强等大反向电场中运动的对称性，以及粒子在数个相同电场单元中运动的周期性，是解题的关键，可选取粒子在一个电场单元中的运动进行分析。同时，面对含有三角函数的二次方程时，可通过$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta = 1$，将常数项升幂，再通过同除以$\cos^{2}\theta$的方式将方程变为一元二次方程，进行求解。也可以使用降幂公式和辅助角公式转化成含$2\theta$的式子进行求解。