《2025年学霸高考黑题物理人教版》

压轴挑战 4 水平板块模型+板块分离问题+机械能守恒+动量守恒 (2024·山东卷)
如图甲所示，质量为 $ M $ 的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上表面粗糙，竖直半圆形部分的表面光滑，两部分在 $ P $ 点平滑连接，$ Q $ 为轨道的最高点.质量为 $ m $ 的小物块静置在轨道水平部分上，与水平轨道间的动摩擦因数为 $ \mu $，最大静摩擦力等于滑动摩擦力.已知轨道半圆形部分的半径 $ R = 0.4 \, m $，重力加速度 $ g $ 取 $ 10 \, m/s^2 $.
(1)若轨道固定，小物块以一定的初速度沿轨道运动到 $ Q $ 点时，受到轨道的弹力大小等于 $ 3mg $，求小物块在 $ Q $ 点的速度大小 $ v $；
(2)若轨道不固定，给轨道施加水平向左的推力 $ F $，小物块处在轨道水平部分时，轨道加速度 $ a $ 与 $ F $ 对应关系如图乙所示.
(i)求 $ \mu $ 和 $ m $；
(ii)初始时，小物块静置在轨道最左端，给轨道施加水平向左的推力 $ F = 8 \, N $，当小物块到 $ P $ 点时撤去 $ F $，小物块从 $ Q $ 点离开轨道时相对地面的速度大小为 $ 7 \, m/s $.求轨道水平部分的长度 $ L $.

答案： 4.题型分析
本题是板块模型与竖直圆弧轨道模型的结合，考察$a-F$图像、向心力公式、机械能守恒、动量守恒.
(1)$4m/s$
(2)(i)$0.2$ $1kg$ (ii)$4.5m$
解析：
(1)根据题意可知小物块在$Q$点由合力提供向心力有$mg + 3mg = m\frac{v^2}{R}$，
代入数据解得$v = 4m/s$.
(2)(i)根据题意可知当$F\leq4N$时，小物块与轨道一起向左加速，根据牛顿第二定律可知$F=(M + m)a$，
根据图乙有$k=\frac{1}{M + m}=0.5kg^{-1}$，
当外力$F＞4N$时，轨道与小物块有相对滑动，则对轨道有$F-\mu mg = Ma$，
结合题图乙有$a=\frac{1}{M}F-\frac{\mu mg}{M}$，可知$k=\frac{1}{M}=1kg^{-1}$，
截距$b=-\frac{\mu mg}{M}=-2m/s^2$，
联立以上各式可得$M = 1kg$，$m = 1kg$，$\mu = 0.2$.
(ii)由图乙可知，当$F = 8N$时，轨道的加速度为$6m/s^2$，小物块的加速度为$a_2=\mu g = 2m/s^2$.
当小物块运动到$P$点时，设经过$t_0$时间，则轨道有$v_1 = a_1t_0$，
对小物块有$v_2 = a_2t_0$，
在这个过程中系统机械能守恒，有$\frac{1}{2}Mv_1^2+\frac{1}{2}mv_2^2=\frac{1}{2}Mv_3^2+\frac{1}{2}mv_4^2+2mgR$，
水平方向动量守恒，以水平向左为正方向，则有$Mv_1+mv_2 = Mv_3+mv_4$，
联立解得$t_0 = 1.5s$或$t_0=\frac{19}{6}s$(不合题意，舍去)，
根据运动学公式有$L=\frac{1}{2}a_1t_0^2-\frac{1}{2}a_2t_0^2$，
代入数据解得$L = 4.5m$.