《2025年学霸高考黑题物理人教版》

压轴挑战5（平抛运动+竖直圆周运动+脱轨问题）
（2025·陕西西安模拟）一游戏装置如图所示，图中$P$为弹射装置，$AB$为倾角$\theta = 37^{\circ}$的倾斜直轨道，$BC$为水平轨道，$C$、$D$分别为竖直圆轨道的最低点和最高点，竖直圆轨道与水平轨道相切于$C$点，$CE$为足够长的倾斜轨道，各段轨道均平滑连接，以$A$点为坐标原点，水平向右为$x$轴正方向，竖直向上为$y$轴正方向建立平面直角坐标系。已知：圆轨道半径$R = 0.3\mathrm{m}$，轨道$AB$长为$L_{1} = 1\mathrm{m}$，轨道$BC$长为$L_{2} = 0.9\mathrm{m}$。通过调节弹射装置$P$在坐标平面内的位置以及小滑块水平弹出的初速度，使滑块均能无碰撞从$A$点切入轨道$AB$，滑块与$AB$、$BC$段间动摩擦因数均为$\mu = 0.5$，其余各段轨道均光滑。滑块质量为$m = 0.3\mathrm{kg}$，滑块可视为质点，$\sin37^{\circ} = 0.6$，$\cos37^{\circ} = 0.8$，重力加速度大小$g$取$10\mathrm{m/s^{2}}$。
（1）若滑块从纵坐标$y = 0.9\mathrm{m}$的某点弹出：
（ⅰ）求滑块弹出时的初速度大小$v_{0}$；
（ⅱ）试通过计算判断滑块能否通过圆轨道的最高点$D$。
（2）若滑块从$A$点切入后，能进入竖直圆轨道且第一次在圆轨道上运行时不脱离圆轨道，则滑块弹出时所处位置的纵坐标$y$应满足什么条件？

答案： 5.题型分析
(1)(ⅰ)平抛运动的规律；(ⅱ)圆周运动的临界问题.
(2)圆周运动的脱轨问题，功能关系.
(1)(ⅰ)$v_0 = 4\sqrt{2}\ m/s$ (ⅱ)滑块可以通过圆轨道最高点D
(2)见解析
解析：
(1)(ⅰ)滑块从P点弹射到A点的过程中做平抛运动，在竖直方向上有$y = \frac{1}{2}gt^{2}$，解得$t = \frac{3\sqrt{2}}{10}\ s$，
根据平抛过程中速度夹角的正切值为位移夹角正切值的2倍关系，有$\frac{2y}{x}=\tan\theta$，代入数据解得$x = 2.4\ m$，
平抛运动水平方向上做匀速运动$x = v_0t$，解得$v_0 = 4\sqrt{2}\ m/s$；
(ⅱ)从P点到D点根据动能定理有$\frac{1}{2}mv_{D}^{2}-\frac{1}{2}mv_{0}^{2}=mg(y + L_1\sin\theta)-\mu mg\cos\theta· L_1-\mu mgL_2 - mg·2R$，
滑块恰好通过圆轨道的最高点D的条件满足$mg = m\frac{v^{2}}{R}$，解得$v = \sqrt{gR}=\sqrt{3}\ m/s$，
由于$v ＜ v_D$，所以滑块可以通过圆轨道最高点D.
(2)滑块不脱离圆轨道分两种情况：
①当滑块恰好通过圆轨道的最高点D时，有$mg = m\frac{v^{2}}{R}$，解得$v = \sqrt{gR}=\sqrt{3}\ m/s$，
从P点到D点根据动能定理有$\frac{1}{2}mv^{2}-\frac{1}{2}mv_{0}^{2}=mg(y_1 + L_1\sin\theta)-\mu mg\cos\theta· L_1-\mu mgL_2 - mg·2R$，
根据运动的分解，在A点有$\frac{v_{y1}}{v_{10}}=\tan\theta$，从P点到A点，滑块下落的高度$y_1 = \frac{v_{y1}^{2}}{2g}$，
联立解得$y_1 = 0.36\ m$；
②当滑块到达与圆心等高的位置时，根据动能定理有$0 - \frac{1}{2}mv_{20}^{2}=mg(y_2 + L_1\sin\theta)-\mu mg\cos\theta· L_1-\mu mgL_2 - mg· R$，
又因为$\frac{v_{y2}}{v_{20}}=\tan\theta$，以及$y_2 = \frac{v_{y2}^{2}}{2g}$，
联立解得$y_2 = 0.198\ m$，
易错提醒：注意AB、BC段为粗糙轨道，弹射高度不足的滑块可能会停在ABC段轨道上，讨论脱轨问题的前提是物体能进入圆轨道.
此外滑块还要能进入圆轨道，从P点到C点根据动能定理有$0 - \frac{1}{2}mv_{30}^{2}=mg(y_3 + L_1\sin\theta)-\mu mg\cos\theta· L_1-\mu mgL_2$，
又因为$\frac{v_{y3}}{v_{30}}=\tan\theta$，以及$y_3 = \frac{v_{y3}^{2}}{2g}$，
联立解得$y_3 = 0.09\ m$，
综上可知，$y\geqslant0.36\ m$或$0.09\ m ＜ y\leqslant0.198\ m$.