《2025年学霸高考黑题物理人教版》

1. 经典真题 1 水平圆周运动模型 + 三维空间问题 + 圆锥摆（2024·江西卷）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图(a)、(b)所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心 $ O $ 点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘 $ A $ 处固定连接一轻绳，轻绳另一端 $ B $ 连接转椅（视为质点）。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为 $ \mu $，重力加速度为 $ g $，不计空气阻力。
(1) 在图(a)中，若圆盘在水平雪地上以角速度 $ \omega_1 $ 匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕 $ O $ 点做半径为 $ r_1 $ 的匀速圆周运动。求 $ AB $ 与 $ OB $ 之间夹角 $ \alpha $ 的正切值。
(2) 将圆盘升高，如图(b)所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕 $ O_1 $ 点做半径为 $ r_2 $ 的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为 $ \theta $，绳子在水平雪地上的投影 $ A_1B $ 与 $ O_1B $ 的夹角为 $ \beta $。求此时圆盘的角速度 $ \omega_2 $。

答案： 1.【学霸三步解题思路】
步骤A 题干正向延伸
直接信息：
①传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动
②转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等
③转椅与雪地之间的动摩擦因数为$\mu$
间接信息：
(1)小问：
①转椅做匀速圆周运动，在转椅的切向上受力平衡，在转椅的径向上合力提供向心力
②角速度为$\omega_1$，半径为$r_1$
(2)小问：
①转椅运动稳定后在水平雪地上绕$O_1$点做半径为$r_2$的匀速圆周运动
②绳子与竖直方向的夹角为$\theta$，绳子在水平雪地上的投影$A_1B$与$O_1B$的夹角为$\beta$
步骤B 设问反向推演
(1)求$AB$与$OB$之间夹角$\alpha$的正切值$\tan \alpha \Rightarrow$切向上，绳子拉力的分力等于摩擦力
$\Rightarrow$径向上，绳子拉力的分力等于向心力
(2)求此时圆盘的角速度$\omega_2$
$\Rightarrow$竖直方向上，绳子拉力的分力、支持力、重力三力平衡
$\Rightarrow$切向上，绳子拉力的分力等于摩擦力
$\Rightarrow$径向上，绳子拉力的分力等于向心力
步骤C 正反连接
(1)切向上:$\mu mg = T\sin \alpha$
径向上:$T\cos \alpha = m\omega_1^2r_1$
解得$\tan \alpha = \frac{\mu g}{\omega_1^2r_1}$
(2)竖直方向上:$F_N + T\cos \theta = mg$
切向上:$T\sin \theta · \sin \beta = \mu F_N$
法向上:$T\sin \theta · \cos \beta = m\omega_2^2r_2$
解得$\omega_2 = \sqrt{\frac{\mu g\sin \theta\cos \beta}{(\sin \theta\sin \beta + \mu\cos \theta)r_2}}$
【答案】
(1)$\frac{\mu g}{\omega_1^2r_1}$
(2)$\sqrt{\frac{\mu g\sin \theta\cos \beta}{(\sin \theta\sin \beta + \mu\cos \theta)r_2}}$
解析：
(1)转椅做匀速圆周运动，设此时轻绳拉力为$T$，转椅质量为$m$，受力分析可知轻绳拉力沿切线方向的分量与转椅受到雪地的滑动摩擦力平衡，沿径向方向的分量提供圆周运动的向心力，故可得
$T\cos \alpha = m\omega_1^2r_1$，$\mu mg = T\sin \alpha$，
联立解得$\tan \alpha = \frac{\mu g}{\omega_1^2r_1}$
(2)设此时轻绳拉力为$T'$，沿$A_1B$和垂直$A_1B$竖直向上的分力分别为$T_1 = T'\sin \theta$，$T_2 = T'\cos \theta$，
对转椅根据牛顿第二定律得$T_1\cos \beta = m\omega_2^2r_2$，
沿切线方向$T_1\sin \beta = f = \mu F_N$，
竖直方向$F_N + T_2 = mg$，
联立解得$\omega_2 = \sqrt{\frac{\mu g\sin \theta\cos \beta}{(\sin \theta\sin \beta + \mu\cos \theta)r_2}}$

2. 巩固训练 2 圆锥摆问题 + 临界极值问题(2025·湘豫名校联考)如图，一圆台可以绕中心轴旋转，圆台下底面半径为 $ 1.25 $ m，上底面半径为 $ 0.45 $ m，高为 $ 0.6 $ m。圆台上底面粗糙，侧面光滑，质量为 $ M = 4m $ 的物块 $ A $ 放置于上底面的圆心处，物块 $ A $ 与圆台上底面之间的动摩擦因数为 $ \mu = 0.4 $，质量为 $ m $ 的物块 $ B $ 置于侧面与下底面交界处，$ A $ 与 $ B $ 通过绕过上底面边缘的光滑定滑轮的轻绳相连，且均可以视为质点，重力加速度 $ g $ 取 $ 10 $ m/s²。则系统维持该稳定状态的角速度的最大值为(C)


A.$ \dfrac{4\sqrt{6}}{3} $ rad/s
B.$ \dfrac{5\sqrt{6}}{3} $ rad/s
C.$ \sqrt{10} $ rad/s
D.$ \dfrac{16}{5} $ rad/s

答案： 2.题型分析
本题属于【模型(二)】非水平力提供向心力的圆锥摆问题.
C 解析：若圆台的角速度达到某一值$\omega_0$时，物块$B$与侧面分离.设此时绳子与竖直方向的夹角为$\theta$，根据几何关系，$\tan \theta = \frac{1.25 - 0.45}{0.6} = \frac{4}{3}$，可得$\theta = 53^{\circ}$，此时绳的拉力$F_T = \frac{mg}{\cos 53^{\circ}} = \frac{5}{3}mg$，而此时物块$A$的最大静摩擦力为$f_m = 4\mu mg = 1.6mg$，即物块$A$已经出现相对滑动.
因此，当该稳定状态出现临界值时，绳的拉力为$F_T' = f_m = 1.6mg$，对$B$受力分析可知$F_T'\cos 53^{\circ} + N\cos 37^{\circ} = mg$，$F_T'\sin 53^{\circ} - N\sin 37^{\circ} = m\omega^2r_2$，
解得$\omega = \sqrt{10} rad/s$，故选C.

3. 巩固训练 3 轻绳连接体 + 临界极值问题(2025·贵州黔东南模拟)(多选)如图所示，两个可视为质点的相同木块 $ A $ 和 $ B $ 放在水平转盘上，用不可伸长的轻绳相连，连线过转盘的圆心 $ O $，木块 $ A $、$ B $ 到转轴中心的距离分别为 $ L $ 和 $ 2L $，木块与转盘之间的动摩擦因数均为 $ \mu $，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为 $ g $。开始时，轻绳恰好伸直但无弹力，现让转盘在水平面内由静止开始绕转轴 $ OO' $ 做角速度 $ \omega $ 缓慢增大的圆周运动。以下说法正确的是(BCD)


A.当角速度 $ \omega $ 增大到 $ \sqrt{\dfrac{\mu g}{L}} $ 时，物块 $ A $ 将相对转盘滑动
B.当角速度 $ \omega ＞ \sqrt{\dfrac{2\mu g}{L}} $ 时，物块 $ A $ 相对转盘滑动
C.角速度 $ \omega $ 在 $ \sqrt{\dfrac{\mu g}{2L}} ＜ \omega ＜ \sqrt{\dfrac{2\mu g}{L}} $ 范围内增大时，轻绳的拉力增大
D.角速度 $ \omega $ 在 $ \sqrt{\dfrac{\mu g}{2L}} ＜ \omega ＜ \sqrt{\dfrac{2\mu g}{L}} $ 范围内增大时，$ A $ 受到的摩擦力先减小后增大

答案： 3.题型分析
本题属于【模型(一)】水平力提供向心力的圆周运动.
BCD 解析：A.当角速度$\omega$较小时，$A$、$B$两木块都靠摩擦力提供向心力，由$f = m\omega^2r$可知，$B$物块的摩擦力先达到最大值，此时$\mu mg = 2mL\omega_1^2$，解得$\omega_1 = \sqrt{\frac{\mu g}{2L}}$，若角速度大于$\omega_1$，对$A$有$F + f_A = mL\omega^2$，对$B$有$F + \mu mg = 2mL\omega^2$，得$f_A = \mu mg - mL\omega^2$，当角速度等于$\sqrt{\frac{\mu g}{L}}$时$f_A = 0$，故A错误；
B.设当角速度增大到$\omega_2$时，$A$相对于转盘即将滑动，$A$木块的摩擦力达到最大，方向背离圆心，对木块$A$有$F - \mu mg = mL\omega_2^2$，对木块$B$有$F + \mu mg = 2mL\omega_2^2$，联立解得$\omega_2 = \sqrt{\frac{2\mu g}{L}}$，故B正确；
CD.角速度在$\sqrt{\frac{\mu g}{2L}} ＜ \omega ＜ \sqrt{\frac{2\mu g}{L}}$的范围内，随着角速度的增大，轻绳的拉力增大，$A$、$B$均相对于转盘静止，$B$受到的摩擦力不变，而$A$受到的摩擦力先减小后增大，故CD正确.故选BCD.