《2025年学霸高考黑题物理人教版》

巩固训练 3 (斜面模型 + 板块模型 + 分离问题 + 功能关系)(2025·浙江杭州期末)如图，斜面体足够长，斜面体上有一质量为$M = 1kg$的木板，木板与斜面体间的动摩擦因数$\mu_1 = 0.5$，木板上端与斜面体下端之间的距离为$L_0$，$t = 0$时刻另一质量为$m = 2kg$的物块以初速度$v_0 = 10m/s$从斜面体下端沿斜面体向上冲上木板，同时木板与斜面体间的锁定解除，$\mu_1 = 0$。在斜面底端还有一块与木板等高的粘性挡板，当木板与挡板碰撞后将被粘住不动。已知木板和木块间动摩擦因数$\mu = \frac{3}{8}$，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，$\sin37^{\circ} = 0.6$，$\cos37^{\circ} = 0.8$，重力加速度$g$取$10m/s^2$，$\sqrt{136} \approx 11.7$。
(1)木板的长度$L$；
(2)若$L_0 = L$，求物块离开木板时的速度；
(3)若$L_0 = 7.6m$，且木板解除锁定的同时，给木板施加一个沿斜面向上的恒力$F = 10N$，其他条件不变，则物块从滑上木板到滑离木板的总时间为多少？(结果保留两位有效数字)

答案： 3.题型分析
倾斜板块问题与分离问题结合.
(1)$8 m$
(2)$12 m/s$
(3)$4.2 s$
解析：
(1)木块刚滑上木板时，根据牛顿第二定律有$mgsin \theta+\mu mg\cos \theta=ma_{1}$，
解得$a_{1}=9 m/s^{2}$，
此时对木板分析有$Mgsin \theta-\mu mg\cos \theta=Ma_{2}$，
解得$a_{2}=0$，
木块向上滑动的过程中，根据运动学公式可得$2a_{1}L=v_{0}^{2}$，
解得$L=8m$；
(2)木块滑到木板上端后与木板一起向下做匀加速直线运动，
对整体分析$(M+m)gsin \theta=(M+m)a_{3}$,解得$a_{3}=6 m/s^{2}$，
当木板刚碰上挡板时，木块的速度为$v_{1}$，根据$2a_{3}L=v_{1}^{2}$，解得$v_{1}=4\sqrt{6} m/s$，
木板停下后，木块的加速度为$a_{4}$，根据牛顿第二定律得$mgsin \theta-\mu mg\cos \theta=ma_{4}$，解得$a_{4}=3 m/s^{2}$，
木块滑下木板时的速度为$v_{2}$，根据运动学公式得$2a_{4}L=v_{2}^{2}-v_{1}^{2}$，解得$v_{2}=12 m/s$；
(3)根据题意可知，木块刚滑上木板时的加速度仍为$a_{1}=9 m/s^{2}$，此时对木板分析得$F+\mu mg\cos \theta-Mgsin \theta=Ma_{5}$，解得$a_{5}=3 m/s^{2}$，
二者共速的时间为$t_{2}$，根据运动学公式得$v_{0}-a_{1}t_{1}=a_{5}t_{1}$，解得$t_{1}=1 s$，
共速时的速度为$v_{共}=a_{5}t_{1}=3 m/s$，
此时木板向上的位移$x_{板}=\frac{1}{2}a_{5}t_{1}^{2}=1.5 m$，
木板与木块发生的相对位移为$\Delta x=(v_{0}t_{1}-\frac{1}{2}a_{1}t_{1}^{2})-x_{板}$，解得$\Delta x=6 m$，
共速后，假设二者一起运动，根据牛顿第二定律得$(M+m)gsin \theta-F=(M+m)a_{6}$，
解得$a_{6}=5 m/s^{2}$，
对木板分析得$Mgsin \theta+f-F=Ma_{6}$，
解得$f=2 N＜\mu mg\cos \theta$，故假设成立，
从共速到木板碰到挡板的过程中，二者一起运动的时间为$t_{2}$，根据运动学公式得$-(x_{板}+L_{0})=v_{共} t_{2}-\frac{1}{2}a_{6}t_{2}^{2}$，解得$t_{2}=2.6 s$，
木板刚停下时，木块的速度$v_{块}=v_{共}-a_{4}t_{2}$，解得$v_{块}=-10 m/s$，
木块滑下木板时的速度为$v$，根据运动学公式$v^{2}-v_{块}^{2}=2a_{4}\Delta x$，
此时木块的速度方向沿斜面向下，解得$v=-\sqrt{136} m/s$，
木板停下后，木块在其上运动的时间$t_{3}=\frac{v-v_{块}}{-a_{4}}$，解得$t_{3}\approx0.6 s$，
物块从滑上木板到滑离木板的总时间$t=t_{1}+t_{2}+t_{3}$，
解得$t=4.2 s$。

压轴挑战 4 (斜面模型 + 板块模型 + 轻绳连接体 + 运动规律)(2025·浙江宁波期中)如图，倾角为$\alpha = 30^{\circ}$的光滑斜面固定在水平面上，斜面底端有固定挡板，一质量为$2m$的长木板 A(足够长)放置在斜面上，一根平行斜面的轻绳跨过光滑定滑轮分别连接长木板 A 和重物 C，此时 A 的下端恰好与挡板接触但两者间无挤压。现将一质量为$3m$的滑块 B，在距离长木板 A 的下端$x_0 = 12.5m$处，以初速度$v_0 = 15m/s$放在长木板 A 上，该速度方向沿长木板 A 的上表面向上，当长木板 A 与滑块 B 恰好共速时，绳子突然断开。设长木板 A 与挡板每次碰撞后均以原速率反弹，长木板 A 与滑块 B 间的动摩擦因数为$\mu = \frac{\sqrt{3}}{3}$，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求：
(1)从长木板 A 开始运动到长木板 A 与滑块 B 共速时，长木板 A 的位移大小；
(2)长木板 A 第一次与挡板碰后的瞬间，长木板 A 的速度；
(3)滑块 B 从长木板 A 的下端滑出前，长木板 A 与挡板碰撞的次数。

答案： 4.题型分析
本题是倾斜板块问题，涉及碰撞与多段运动过程.
(1)$2.5 m$
(2)$5\sqrt{2} m/s$,方向沿斜面向上
(3)$3$次
解析：
(1)$A$上未放$B$时，根据题意，由平衡条件有$m_{C}g=2mgsin 30^{\circ}$，
解得$m_{C}=m$，
在$A$上放置$B$后，$B$相对于$A$上滑时，对于$B$,根据牛顿第二定律，有$-3mgsin 30^{\circ}-\mu · 3mg\cos 30^{\circ}=3ma_{B}$，解得$a_{B}=-10 m/s^{2}$，
对于$A$、$C$，根据牛顿第二定律，有$\mu · 3mg\cos 30^{\circ}=(m+2m)a_{AC}$，解得$a_{AC}=5 m/s^{2}$，
设经过时间$t_{1}$，三者共速，有$v_{0}+a_{B}t_{1}=a_{AC}t_{1}$，解得$t_{1}=1 s$，
共速的速度大小为$v_{1}=v_{0}+a_{B}t_{1}=5 m/s$，
$A$、$B$共速前$A$的位移$x_{A}=\frac{v_{1}}{2}t_{1}=2.5 m$；
(2)$B$相对于$A$上滑的距离为$\Delta x=x_{B}-x_{A}=\frac{v_{0}+v_{1}}{2}t_{1}-\frac{v_{1}}{2}t_{1}=7.5 m$，
共速后，假设两者相对静止，对$AB$整体，根据牛顿第二定律有$-(3m+2m)gsin 30^{\circ}=(3m+2m)a_{1}$，
解得$a_{1}=-5 m/s^{2}$，
对$B$,根据牛顿第二定律有$-3mgsin 30^{\circ}+F_{f}=3ma_{1}$，
联立解得$F_{f}=0＜F_{fm}=\mu · 3mg\cos 30^{\circ}$，
说明假设成立，两者一起沿斜面向上做匀减速直线运动，速度为零后，又以加速度$a_{1}$一起加速下滑，$A$第一次与挡板碰前的瞬间，根据运动学公式有$v_{2}^{2}-v_{1}^{2}=2a_{1}x_{A}$，
解得$v_{2}=5\sqrt{2} m/s$，
根据题意得$A$第一次与挡板碰后的瞬间，$A$的速度大小$v_{2}=5\sqrt{2} m/s$，方向沿斜面向上；
此时$B$的速度大小也为$v_{3}=v_{2}=5\sqrt{2} m/s$，方向沿斜面向下.
(3)$A$第一次与挡板碰后，对$A$，根据牛顿第二定律有$-2mgsin 30^{\circ}-\mu · 3mg\cos 30^{\circ}=2ma_{A1}$，
解得$a_{A1}=-12.5 m/s^{2}$，
对$B$，根据受力分析，可知$3mgsin 30^{\circ}=\mu · 3mg\cos 30^{\circ}$，
即$B$始终沿$A$向下做匀速直线运动；由题意可得从$A$第一次与挡板碰后到第二次与挡板相碰的时间为$t_{2}=2 · \frac{-v_{2}}{a_{A1}}=\frac{4\sqrt{2}}{5} s$，
$A$、$B$的相对位移为$\Delta x_{1}=v_{2}t_{2}$，解得$\Delta x_{1}=8 m$，
则$A$每与挡板碰撞一次，$B$将相对于$A$下滑$8 m$，故碰撞的次数为$N=\frac{x_{0}+\Delta x}{\Delta x_{1}}+1=3.5$次，
取整数$3$次.