《2025年学霸高考黑题物理人教版》

一条水平传送带匀速转动，速度大小为v，方向如图所示。竖直虚线边界Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ之间存在如图所示的匀强磁场，水平间距已在图中标出。边界Ⅰ、Ⅱ间磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里；边界Ⅱ、Ⅲ间磁感应强度大小为2B，方向垂直于纸面向外；边界Ⅳ、Ⅴ间磁感应强度大小为4B，方向垂直于纸面向外。磁场区域的下边界水平，如图所示。其中磁感应强度为4B的磁场区域下边界与传动带的距离为$\frac{L}{2}$。传送带左侧有一质量为M、边长为L、电阻为R的正方形金属线框。最初线框左侧与边界Ⅰ重合，初速度大小也为v，方向水平向右。已知线框经过边界Ⅱ的过程中，与传送带间刚好不发生相对滑动，最大静摩擦力认为与滑动摩擦力相等，重力加速度为g。求：
(1)线框穿过边界Ⅱ的过程中受到安培力的大小；
(2)从最初到线框刚好完全通过边界Ⅲ的过程中，线框中产生的电热Q；
(3)线框通过边界Ⅳ的过程中，传送带对线框支持力的冲量$I_{N}$；
(4)若线框能与传送带无相对滑动地通过边界Ⅴ，线框与传送带间的动摩擦因数μ的最大值（结果可以保留分数）。

答案： 3.题型分析
在不同磁场结合传送带的特点，对线框受力分析与运动分析.
(1)$\frac{9B^{2}L^{2}v}{R}$
(2)$\frac{13B^{2}L^{3}v}{R}$
(3)$\frac{mgL}{v} + \frac{4B^{2}L^{3}}{R}$
(4)$\frac{5}{8}$
解析：
(1)线框中的电动势$E = BLv + 2BLv$，线框中的电流$I = \frac{E}{R}$，线框受到的安培力$F = BIL + 2BIL$，得$F = \frac{9B^{2}L^{2}v}{R}$
(2)线框通过边界Ⅱ的过程中产生的热量$Q_{1} = I^{2}Rt_{1}$，线框通过边界Ⅱ的时间$t_{1} = \frac{L}{v}$，
可知$Q_{1} = \frac{9B^{2}L^{3}v}{R}$，继续运动$L$的过程中电流为$0$，线框不受摩擦力，匀速运动，线框通过边界Ⅱ的过程由条件可以判断线框仍随传送带匀速运动，过程中产生的热量$Q_{2} = I_{2}^{2}Rt_{2}$，又$I_{2} = \frac{2BLv}{R}$，运动时间$t_{2} = \frac{L}{v}$，故从最初到线框刚好完全通过边界Ⅲ的过程中，线框中产生的电热为$Q = Q_{1} + Q_{2} = \frac{13B^{2}L^{3}v}{R}$
(3)由线框的右边界刚经过边界Ⅳ时$F_{N1} = mg$，由线框的左边界刚要经过边界Ⅳ时$F_{N2} = mg + 4BIL$，式中$I_{3} = \frac{4B}{R} · \frac{L}{2}v$，在线框进入磁场的过程线框仍然匀速运动，受到的支持力随时间均匀变化，可得线框受到的支持力的冲量为$I_{N} = \frac{(F_{N1} + F_{N2})L}{2v} = \frac{mgL}{v} + \frac{4B^{2}L^{3}}{R}$，可知$I_{3} = \frac{mgL}{v} + \frac{4B^{2}L^{3}}{R}$
(4)线框右边界到达边界Ⅴ时不发生相对滑动$\mu(mg - 4BIL) \geqslant 4B · \frac{L}{2}I_{3}$，由刚进磁场时线框与传送带间恰好不发生相对滑动，可得$\mu mg = F = \frac{9B^{2}L^{2}v}{R}$，联立可得$\mu \leqslant \frac{5}{8}$，即$\mu$的最大值为$\frac{5}{8}$

压轴挑战4(线框通过多个磁场)(2025·河北张家口二模)(多选)
如图所示，一边长为L的正方形线圈置于光滑绝缘水平面上，线圈右侧存在竖直方向的匀强磁场Ⅰ和Ⅱ，两磁场的宽度均为L，磁感应强度大小均为B，方向如图所示。线圈的cd边与磁场边界平行。现给线圈一水平向右的初速度$v_{0}$，当线圈全部进入磁场Ⅱ时速度恰好为零，下列说法正确的是(CD)


A.线圈速度刚好为零时，其加速度不为零
B.整个过程中，线圈做的是加速度逐渐减小的减速运动
C.线圈的cd边在磁场Ⅰ、Ⅱ运动的过程中线圈产生的焦耳热之比为9:16
D.若线圈的初速度为$2v_{0}$，则线圈的ab边刚好运动到磁场Ⅱ右边界时的速度大小为$\frac{4}{5}v_{0}$

答案： 4.题型分析
本题属于线框先后在两个相邻磁场中运动的模型.考查对线框运动状态的分析，动量定理在只考虑安培力情况下的应用，感应电动势、安培力、焦耳热的计算.
CD解析：A.线圈在磁场Ⅱ中运动，满足$2BIL = ma$，其中$I = \frac{E}{R}$，$E = 2BLv$，可得$a = \frac{4B^{2}L^{2}v}{mR}$，可知线圈速度刚好为零时，其加速度也为零，故A错误；B.线圈的$cd$边由磁场Ⅰ进入磁场Ⅱ的瞬间，$ab$边也开始受到安培力作用，加速度瞬间增大，故B错误；C.设线圈$cd$边刚要进入磁场Ⅱ时的速度为$v_{1}$，线圈的$cd$边在磁场Ⅰ运动的过程，由动量定理得$- BIL\Delta t_{1} = mv_{1} - mv$，线圈的$cd$边在磁场Ⅱ运动的过程，有$- 2BIL\Delta t_{2} = 0 - mv_{1}$，其中$q_{1} = \overline{I}\Delta t_{1} = \frac{BL^{2}}{R}$，$q_{2} = \overline{I}\Delta t_{2} = \frac{2BL^{2}}{R}$，解得$v_{1} = \frac{4}{5}v_{0}$，$cd$边在磁场Ⅰ运动的过程中线圈产生的热量为$Q_{1} = \frac{1}{2}mv_{0}^{2} - \frac{1}{2}mv_{1}^{2}$，$cd$边在磁场Ⅱ运动的过程中线圈产生的热量为$Q_{2} = \frac{1}{2}mv_{1}^{2} - 0$，可得$Q_{1} : Q_{2} = 9 : 16$，故C正确；D.由上述分析可得，若线圈的初速度为$2v_{0}$，线圈的$cd$边在磁场Ⅰ运动的过程中动量的减少量为$\frac{mv_{0}}{5}$，线圈的$cd$边在磁场Ⅱ运动的过程中动量的减少量为$\frac{4mv_{0}}{5}$，线圈的$ab$边从进入磁场Ⅱ到离开磁场Ⅱ的过程中动量的减少量为$\frac{mv_{0}}{5}$，则线圈的$ab$边刚好运动到磁场Ⅱ右边界时的速度为$v = 2v_{0} - \frac{1}{5}v_{0} - \frac{4}{5}v_{0} - \frac{1}{5}v_{0} = \frac{4}{5}v_{0}$，故D正确.
故选CD.
解题技巧：本题主要根据牛顿第二定律分析加速度，通过能量守恒来分析热量，对于速度和电荷量应用动量定理进行分析.