《2025年新课程学习辅导九年级数学上册人教版》

7. (广东)若一个三角形的一条边的长为$2\sqrt{6}$，另外两条边的长是关于$x$的方程$x^2 - 4\sqrt{3}x + 12 = 0$的解. 试判断该三角形的形状，并说明理由.

答案： 解：等腰直角三角形.
理由如下：由$x^2 - 4\sqrt{3}x + 12 = 0$，得$(x - 2\sqrt{3})^2 = 0$，解得$x_1 = x_2 = 2\sqrt{3}$。又$(2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 = (2\sqrt{6})^2$，$\therefore$该三角形是等腰直角三角形。

8. 阅读下列材料，并回答问题.
小明在解一元二次方程$x(x + 4) = 6$时，发现有这样一种解法.
解：原方程可变形，得$[(x + 2) - 2][(x + 2) + 2] = 6$，
$(x + 2)^2 - 2^2 = 6$，
$(x + 2)^2 = 6 + 2^2$，
$(x + 2)^2 = 10$.
直接开平方并整理，得$x_1 = -2 + \sqrt{10}$，$x_2 = -2 - \sqrt{10}$.
我们称这种解法为“平均数法”.
(1)下面是小明用“平均数法”解方程$(x + 3)(x + 7) = 5$时写的过程.
解：原方程可变形，得$[(x + a) - b][(x + a) + b] = 5$，
$(x + a)^2 - b^2 = 5$，
$(x + a)^2 = 5 + b^2$.
直接开平方并整理，得$x_1 = c$，$x_2 = d$.
上述过程中的$a$，$b$，$c$，$d$($b ＞ 0$，$c ＞ d$)表示的数分别为5，2，-2，-8.
(2)请用“平均数法”解方程：$(x - 5)(x + 3) = 6$.

答案：
(1)5 2 -2 -8
(2)解：原方程可变形，得$[(x - 1) - 4][(x - 1) + 4] = 6$。
整理，得$(x - 1)^2 - 4^2 = 6$，$(x - 1)^2 = 22$。直接开平方，
解得$x_1 = 1 + \sqrt{22}$，$x_2 = 1 - \sqrt{22}$。