《2025年新课程学习辅导九年级数学上册人教版》

对于二次函数 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的图象：
(1) 当 $ a ＞ 0 $ 时，抛物线的开口向上。在对称轴的左侧，即当 $ x $＜h时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当 $ x $＞h时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。当 $ x $=h时，函数取得最小值，最小值是k。
(2) 当 $ a ＜ 0 $ 时，抛物线的开口向下。在对称轴的左侧，即当 $ x $＜h时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当 $ x $＞h时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。当 $ x $=h时，函数取得最大值，最大值是k。

答案： （1）向上 ＜ h 减小 ＞ h 增大 =h 小 小 k （2）向下 ＜ h 增大 ＞ h 减小 =h 大 大 k

【问题】二次函数 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的图象是什么形状？图象有什么特点？它与二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象有什么联系？
【探究】先填表，再在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 $ y = \frac{1}{4}x^2 $，$ y = \frac{1}{4}(x - 2)^2 $和 $ y = \frac{1}{4}(x - 2)^2 - 3 $ 的图象，并探究它们的图象特点和性质。

答案： 解：填表及画图略.它们的图象特点和性质如下：抛物线$y=\frac{1}{4}x^{2}$开口向上，顶点坐标为(0, 0)，对称轴为$x=0$；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x=0$时，函数值最小，最小值为0.抛物线$y=\frac{1}{4}(x - 2)^{2}$开口向上，顶点坐标为(2, 0)，对称轴为$x=2$；当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x=2$时，函数值最小，最小值为0.抛物线$y=\frac{1}{4}(x - 2)^{2}-3$开口向上，顶点坐标为(2, -3)，对称轴为$x=2$；当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x=2$时，函数值最小，最小值为-3.