《2025年新课程学习辅导九年级数学上册人教版》

5. 如图，一名篮球运动员在距篮筐4m处跳起投篮，球的飞行轨迹为抛物线，当球飞行到与篮球运动员水平距离2.5m处时，到达最大高度3.5m，然后准确地落入篮筐.已知篮筐中心到地面的高度为3.05m，该运动员的身高为1.8m，在这次投篮中，该运动员在头顶上方0.25m处将球投出，此时，该运动员跳起的高度为0.2m.

答案： 5. 0.2

6.(深圳)蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜.蔬菜大棚一般使用竹结构或者钢结构的骨架，表面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间.如图①，某个温室大棚的横截面可以看作由矩形ABCD和抛物线AED构成，其中$AB=3$m，$BC=4$m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，$OE=4$m，以O为坐标原点，BC所在直线为x轴，OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
(1)已知抛物线AED的顶点$E(0,4)$，求抛物线的解析式；
(2)如图②，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若点L，R在抛物线上，点F，G，M，N在直线AD上，且$FL=NR=0.75$m，求两个正方形装置的间距GM；
(3)如图③，在某一时刻，太阳光线透过点A恰好照射到点C，此时大棚截面的阴影为CK，求CK的长.

答案： 6. 解：
(1)
∵AB = 3 m，AD = BC = 4 m，E(0，4)，
∴点A(−2，3). 设抛物线的解析式为y = ax² + c，将A，E两点坐标代入解析式，得$\begin{cases}4a + c = 3,\\c = 4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{4},\\c = 4,\end{cases}$
∴抛物线的解析式为y = −$\frac{1}{4}$x² + 4(−2≤x≤2).
(2)设G(−t，3)，则L(−t - $\frac{3}{4}$，3 + $\frac{3}{4}$)，
∴3 + $\frac{3}{4}$ = −$\frac{1}{4}$(−t - $\frac{3}{4}$)² + 4，解得t₁ = $\frac{1}{4}$，t₂ = −$\frac{7}{4}$(不合题意，舍去).
∴GM = 2t = $\frac{1}{2}$. 答：两个正方形装置的间距GM为$\frac{1}{2}$ m.
(3)如图，取最右侧光线与抛物线的交点为P，设直线AC的解析式为y = kx + n，
∴$\begin{cases}-2k + n = 3,\\2k + n = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -\frac{3}{4},\\n = \frac{3}{2}.\end{cases}$
∴直线AC的解析式为y = −$\frac{3}{4}$x + $\frac{3}{2}$. 由PK//AC，可设直线PK的解析式为y = −$\frac{3}{4}$x + m，联立$\begin{cases}y = -\frac{3}{4}x + m,\\y = -\frac{1}{4}x^{2} + 4,\end{cases}$得−$\frac{1}{4}$x² + $\frac{3}{4}$x + 4 - m = 0.
∴Δ = ($\frac{3}{4}$)² - 4×(−$\frac{1}{4}$)×(4 - m) = 0，解得m = $\frac{73}{16}$.
∴直线PK的解析式为y = −$\frac{3}{4}$x + $\frac{73}{16}$. 令y = 0，得x = $\frac{73}{12}$，
∴CK = OK - OC = $\frac{73}{12}$ - 2 = $\frac{49}{12}$. 答：CK的长为$\frac{49}{12}$ m.