《2025年新课程学习辅导九年级数学上册人教版》

有些实际问题中的最大(小)值问题可以用二次函数模型来刻画. 解决此类问题常用的方法:
1. 将 $ y = ax^{2} + bx + c $ 通过配方化为 $ y = a(x - h)^{2} + k $ 的形式.
(1)若 $ a ＞ 0 $，则当 $ x = $h时，$ y $ 有最小值，为k；
(2)若 $ a ＜ 0 $，则当 $ x = $h时，$ y $ 有最大值，为k.
2. 一般地，当 $ a ＞ 0(a ＜ 0) $ 时，抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的顶点是最低(高)点，也就是说，当 $ x = $- \frac{b}{2a}时，二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 有最小(大)值\frac{4ac - b^2}{4a}.

答案： 1.
(1)h 小 k
(2)h 大$ k 2. - \frac {b}{2a} \frac {4ac - b^2}{4a}$

【问题】如何运用二次函数解决实际问题中的最值问题?

答案： 运用二次函数解决实际问题中的最值问题需按上述步骤进行，关键是列出函数关系式并结合自变量取值范围求最值。

【探究1】已知直角三角形两条直角边的和等于16，两条直角边分别为多少时，这个直角三角形的面积最大? 最大值是多少?

答案： 解：设一条直角边为$x$，则另一条直角边为$16 - x$，三角形面积$S=\frac{1}{2}x(16 - x)$。
将$S=\frac{1}{2}x(16 - x)$展开得$S = -\frac{1}{2}x^{2}+8x$。
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），当$a\lt0$时，函数图象开口向下，在$x = -\frac{b}{2a}$处取得最大值。
在$S = -\frac{1}{2}x^{2}+8x$中，$a = -\frac{1}{2}$，$b = 8$，则$x=-\frac{8}{2×(-\frac{1}{2})}=8$。
当$x = 8$时，另一条直角边为$16 - 8 = 8$。
把$x = 8$代入$S = -\frac{1}{2}x^{2}+8x$得$S_{max}=-\frac{1}{2}×8^{2}+8×8 = 32$。
所以当两条直角边都为$8$时，这个直角三角形面积最大，最大值是$32$。