《2025年新课程学习辅导九年级数学上册人教版》

1. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+p x+q = 0 $ 的两个根是 $ x_{1} $，$ x_{2} $，则有$x_{1}+x_{2} = $-p，$ x_{1} x_{2} = $q，即二次项系数为 $ 1 $ 的一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数的相反数，两个根的积等于常数项。

答案： -p q 一次项系数的相反数 常数项

2. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ a x^{2}+b x+c = 0 $ 的两个根是 $ x_{1} $，$ x_{2} $，则有 $ x_{1}+x_{2} = $____，$ x_{1} x_{2} = $____，即任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比。

答案： 一次项系数与二次项系数的比的相反数 常数项与二次项系数的比

【问题】一元二次方程的根与系数有什么关系？
【探究】已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+p x+q = 0 $（$ p $，$ q $ 为常数，$ p^{2}-4 q \geqslant 0 $），试用求根公式求出它的两个根 $ x_{1} $，$ x_{2} $，并计算 $ x_{1}+x_{2} $，$ x_{1} x_{2} $。

答案： 解：$\because a = 1$，$b = p$，$c = q$，
$\therefore\Delta = b^{2}-4ac = p^{2}-4q\geqslant0.\therefore x=\frac{-p\pm\sqrt{p^{2}-4q}}{2}$，$\therefore x_{1}=\frac{-p + \sqrt{p^{2}-4q}}{2}$，$x_{2}=\frac{-p - \sqrt{p^{2}-4q}}{2}\therefore x_{1}+x_{2}=\frac{-p + \sqrt{p^{2}-4q}}{2}+\frac{-p - \sqrt{p^{2}-4q}}{2}=\frac{-2p}{2}=-p$，$x_{1}x_{2}=\frac{-p + \sqrt{p^{2}-4q}}{2}\cdot\frac{-p - \sqrt{p^{2}-4q}}{2}=\frac{(-p)^{2}-(\sqrt{p^{2}-4q})^{2}}{4}=\frac{p^{2}-p^{2}+4q}{4}=q$。