《2025年新课程学习辅导九年级数学上册人教版》

3. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 5\ cm$，$BC = 8\ cm$。
(1)若以点$A$为圆心，$2\ cm$长为半径作圆，则$\odot A$与$BC$所在直线的位置关系是相离；
(2)若以点$A$为圆心，$3\ cm$长为半径作圆，则$\odot A$与$BC$所在直线的位置关系是相切。

答案：
(1)相离　
(2)相切

4. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90°$，$\angle A = 60°$，$BC = 4\ cm$，若以点$C$为圆心，$3\ cm$为半径作圆，则$\odot C$与$AB$所在直线的位置关系是相交。

答案： 相交

5. 两个同心圆，大圆半径为$5\ cm$，小圆半径为$3\ cm$，若大圆的弦$AB$与小圆相交，则弦$AB$的取值范围是8cm＜AB≤10cm。

答案： 8cm＜AB≤10cm

6. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90°$，$AC = 6$，$BC = 8$。若以点$C$为圆心，$r$为半径画$\odot C$，请根据下列条件，求$r$的值或取值范围。
(1)$\odot C$与斜边$AB$有一个公共点；
(2)$\odot C$与斜边$AB$有两个公共点；
(3)$\odot C$与斜边$AB$没有公共点。

答案： 1. 首先求斜边$AB$的长度：
根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$，已知$AC = 6$，$BC = 8$，则$AB=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10$。
再求点$C$到斜边$AB$的距离$d$（利用三角形面积公式$S=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot d$）：
因为$S=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×6×8 = 24$，又$S=\frac{1}{2}AB\cdot d$，$AB = 10$，所以$\frac{1}{2}×10× d=24$，解得$d=\frac{24}{5}=4.8$。
2. 然后分析$\odot C$与斜边$AB$的位置关系：
(1)当$\odot C$与斜边$AB$有一个公共点时：
情况一：$\odot C$与$AB$相切，此时$r = d$，即$r = 4.8$；
情况二：$\odot C$与$AB$相交，且$AC\lt r\leqslant BC$（当$r = AC = 6$时，圆与$AB$有一个交点；当$r\gt BC = 8$时，圆与$AB$无交点），即$6\lt r\leqslant8$。
综上，$r = 4.8$或$6\lt r\leqslant8$。
(2)当$\odot C$与斜边$AB$有两个公共点时：
此时$4.8\lt r\leqslant6$（当$r = 4.8$时，圆与$AB$相切，只有一个交点；当$r\gt6$时，圆与$AB$的交点个数小于$2$）。
(3)当$\odot C$与斜边$AB$没有公共点时：
此时$0\lt r\lt4.8$或$r\gt8$（当$r = 4.8$时，圆与$AB$相切；当$4.8\lt r\leqslant8$时，圆与$AB$相交）。
综上，
(1)$r = 4.8$或$6\lt r\leqslant8$；
(2)$4.8\lt r\leqslant6$；
(3)$0\lt r\lt4.8$或$r\gt8$。

7. 如图，$\angle AOB = 30°$，点$M$在$OB$上，且$OM = 5\ cm$。已知$\odot M$是以$M$为圆心，$r$为半径的圆。若$C$是射线$OA$上一点，$OC = 5\sqrt{3}\ cm$，讨论线段$OC$与$\odot M$的公共点个数，并写出$r$相应的取值范围。

答案： 解:当0＜r＜2.5cm或r＞5cm时，⊙M与线段OC无公共点;当r=2.5cm时，⊙M与线段OC有一个公共点;当2.5cm＜r≤5cm时，⊙M与线段OC有两个公共点.

8. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90°$，$\angle B = 60°$，点$O$在$AB$上，$AO = x$，$\odot O$的半径为$1$。当$x$在什么范围内取值时，$AC$所在直线分别与$\odot O$相离、相切、相交？

答案： 当x＞2时，AC与⊙O相离;当x=2时，AC与⊙O相切;当0＜x＜2时，AC与⊙O相交.