《2025年新课程学习辅导九年级数学上册人教版》

3. 已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴的交点为 $ (-1, 0) $，$ (3, 0) $，且其形状及开口方向与抛物线 $ y = -2x^{2} $ 相同，则 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的解析式为(D)。

A.$ y = -2x^{2} - x + 3 $
B.$ y = -2x^{2} + 4x + 5 $
C.$ y = -2x^{2} + 4x + 8 $
D.$ y = -2x^{2} + 4x + 6 $

答案： 3. D

4. 如图，抛物线 $ y = x^{2} + bx + c (b, c $ 是常数 $ ) $ 与 $ x $ 轴交于 $ A(1, 0) $，$ B $ 两点，$ AB = 4 $。求该抛物线的解析式。

答案： 4. 解：$y = x^{2}+2x - 3$。

5. 已知二次函数 $ y = x^{2} + bx + c $，当 $ x \leq 1 $ 时，$ y \geq 0 $；当 $ 1 \leq x \leq 3 $ 时，$ y \leq 0 $，则 $ c $ 的取值范围是(B)。

A.$ c = 3 $
B.$ c \geq 3 $
C.$ 1 \leq c \leq 3 $
D.$ c \leq 3 $

答案： 5. B

6. 如图，在平面直角坐标系中，边长为 $ 2 $ 的正方形 $ OABC $ 的顶点 $ A $，$ C $ 分别在 $ x $ 轴、$ y $ 轴的正半轴上，二次函数 $ y = -\frac{2}{3}x^{2} + bx + c $ 的图象经过 $ B $，$ C $ 两点。
(1) 求该二次函数的解析式；
(2) 结合函数的图象探索：当 $ x $ 取何值时，$ y ＞ 0 $。

答案： 6. 解：
(1)
∵正方形$OABC$的边长为2，
∴$B$点坐标为$(2,2)$，$C$点坐标为$(0,2)$。将$B$，$C$两点坐标代入$y = -\frac{2}{3}x^{2}+bx + c$，得$\begin{cases}\frac{8}{3}+2b + c = 2,\\2 = c,\end{cases}$解得$\begin{cases}b = \frac{4}{3},\\c = 2.\end{cases}$
∴$y = -\frac{2}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x + 2$。
(2)令$y = 0$，则$-\frac{2}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x + 2 = 0$，解得$x_1 = -1$，$x_2 = 3$，
∴抛物线与$x$轴的交点坐标分别为$(-1,0)$，$(3,0)$，结合函数图象，知当$-1 ＜ x ＜ 3$时，$y ＞ 0$。