《2025年新课程学习辅导九年级数学上册人教版》

1. 一元二次方程$(x + 6)^{2}=16$可转化为两个一元一次方程，若其中一个方程是$x + 6=4$，则另一个方程是(D).

A.$x - 6=-4$
B.$x - 6=4$
C.$x + 6=4$
D.$x + 6=-4$

答案： D

2. 方程$x^{2}-5=0$的根是$x_1 = \sqrt{5}$，$x_2 = -\sqrt{5}$.

答案： 2. $x_1 = \sqrt{5}$，$x_2 = -\sqrt{5}$

3. 若关于$x$的一元二次方程$(x + 2)^{2}=m - 1$可以用直接开平方法求解，则$m$的取值范围是$m\geq1$.

答案： 3. $m\geq1$

4. 解下列方程：
(1)$4(2 - x)^{2}-8=0$；
(2)$(2x - 1)^{2}=0$.

答案： 4. 解：
(1)$4(2 - x)^2 = 8$，$(x - 2)^2 = 2$，$x - 2 = \pm\sqrt{2}$，$x_1 = 2 + \sqrt{2}$，$x_2 = 2 - \sqrt{2}$.
(2)$2x - 1 = 0$，$x_1 = x_2 = \frac{1}{2}$.

5. 已知关于$x$的方程$x^{2}+(m - 1)x + m - 10=0$的一个根是3，求$m$的值及方程的另一个根.

答案： 5. 解：$\because$方程$x^2 + (m - 1)x + m - 10 = 0$的一个根是$3$，$\therefore 9 + 3(m - 1) + m - 10 = 0$，即$4m - 4 = 0$，解得$m = 1$. $\therefore$原方程为$x^2 - 9 = 0$，解得$x = \pm 3$，$\therefore$方程的另一个根为$-3$.

6. 在实数范围内定义一种新运算“$*$”，其规则为$m*n=m^{2}-n^{2}$，根据这个规则：
(1)求$3*2$；
(2)求$(y - 2)*5=0$中$y$的值.

答案： 6. 解：
(1)由题意，得$3 * 2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$.
(2)由题意，得$(y - 2) * 5 = (y - 2)^2 - 5^2 = 0$，整理，得$(y - 2)^2 = 25$，即$y - 2 = 5$或$y - 2 = -5$，解得$y_1 = 7$，$y_2 = -3$.

7. 关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c=0(a\neq0)$的一个根是$x = 1$，且$a$，$b$满足$b=\sqrt{a - 2}+\sqrt{4 - 2a}-3$，求关于$y$的方程$\frac{1}{4}y^{2}-c=0$的根.

答案： 7. 解：由题意，得$a - 2\geq0$且$4 - 2a\geq0$，$\therefore a\geq2$且$a\leq2$. $\therefore a = 2$. $\therefore b = -3$. $\because$方程$ax^2 + bx + c = 0(a\neq0)$的一个根是$x = 1$，$\therefore 2 - 3 + c = 0$，解得$c = 1$，则关于$y$的方程为$\frac{1}{4}y^2 - 1 = 0$. 整理，得$y^2 = 4$，$\therefore y_1 = 2$，$y_2 = -2$.