《2025年新课程学习辅导九年级数学上册人教版》

8. 已知函数 $ y = kx + b $ 的图象如图所示，则一元二次方程 $ x^{2}+x + k - 1 = 0 $ 的根的情况是(C).


A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不等的实数根
D.无法确定

答案： C

9. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ kx^{2}-\sqrt{2k + 1}x + 1 = 0 $ 有两个不等的实数根，则 $ k $ 的取值范围是(D).

A.$ k＜\frac{1}{2} $
B.$ k＜\frac{1}{2} $，且 $ k\neq0 $
C.$ -\frac{1}{2}\leqslant k＜\frac{1}{2} $
D.$ -\frac{1}{2}\leqslant k＜\frac{1}{2} $，且 $ k\neq0 $

答案： D

10. (广州)已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-(2k - 2)x + k^{2}-1 = 0 $ 有两个实数根，则 $ \sqrt{(k - 1)^{2}}-(\sqrt{2 - k})^{2} $ 的化简结果是(A).

A.$ -1 $
B.$ 1 $
C.$ -1 - 2k $
D.$ 2k - 3 $

答案： A

11. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+ax + a - 2 = 0 $. 求证：无论 $ a $ 取何值，方程总有两个不等的实数根.

答案： 证明：由题可得$\Delta = a^2 - 4 × 1 × (a - 2) = a^2 - 4a + 8 = a^2 - 4a + 4 + 4 = (a - 2)^2 + 4$. $\because (a - 2)^2 \geq 0$, $\therefore (a - 2)^2 + 4 ＞ 0$. $\therefore$无论$a$取何值，方程总有两个不等的实数根.

12. (广州)已知 $ T=(a + 3b)^{2}+(2a + 3b)(2a - 3b)+a^{2} $.
(1)化简 $ T $；
(2)若关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+2ax - ab + 1 = 0 $ 有两个相等的实数根，求 $ T $ 的值.

答案：
(1)$T = a^2 + 6ab + 9b^2 + 4a^2 - 9b^2 + a^2 = 6a^2 + 6ab$.
(2)$\because$关于$x$的方程$x^2 + 2ax - ab + 1 = 0$有两个相等的实数根，$\therefore \Delta = (2a)^2 - 4(-ab + 1) = 0$. $\therefore a^2 + ab = 1$. $\therefore T = 6(a^2 + ab) = 6$.