《2025年新课程学习辅导九年级数学上册人教版》

1. 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.

答案： 完全平方

2. 配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.

答案： 降次 一元一次方程

3. 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成$(x + n)^2 = p$的形式，那么就有：
(1)当$p ＞ 0$时，方程$(x + n)^2 = p$有两个不等的实数根$x_1 = -n + \sqrt{p}$，$x_2 = -n - \sqrt{p}$；
(2)当$p = 0$时，方程$(x + n)^2 = p$有两个相等的实数根$x_1 = x_2 = -n$；
(3)当$p ＜ 0$时，因为对任意实数$x$，都有$(x + n)^2 \geq 0$，所以方程$(x + n)^2 = p$无实数根.

答案：
(1)$x_1 = -n + \sqrt{p}$，$x_2 = -n - \sqrt{p}$
(2)两个相等$x_1 = x_2 = -n$
(3)无

【探究】(1)填空：
①$x^2 + 6x + 9 = (x++ \_\_)^2$； ②$x^2 - 12x +36\_\_ = (x-- \_\_)^2$；
③$x^2 + 10x +25\_\_ = (x +5\_\_)^2$； ④$x^2 - 5x +$\frac{25}{4}$\_\_ = (x -$\frac{5}{2}$\_\_)^2$.
(2)如何解方程$x^2 + 4x + 4 = 25$？
(3)如何解方程$x^2 + 12x - 15 = 0$？

答案：
(1)①3 ②36 6 ③25 5 ④$\frac{25}{4}$ $\frac{5}{2}$
(2)解：原方程可化为$(x + 2)^2 = 25$，$x + 2 = \pm5$，$x_1 = 3$，$x_2 = -7$。
(3)解：原方程可化为$x^2 + 12x = 15$，$x^2 + 12x + 6^2 = 15 + 6^2$，$(x + 6)^2 = 51$，$x + 6 = \pm\sqrt{51}$，$x_1 = -6 + \sqrt{51}$，$x_2 = -6 - \sqrt{51}$。