《2025年新课程学习辅导九年级数学上册人教版》

6. 若 $ n(n \neq 0) $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程$x^{2} + mx + 2n = 0$的一个根，则 $ m + n $ 的值为-2.

答案： 6. -2

7. (东莞一模)若 $ a $ 是方程$x^{2} + x - 1 = 0$的根，则代数式$2026 - a^{2} - a$的值是2025.

答案： 7. 2025

8. 根据下列问题，列出关于 $ x $ 的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式.
(1)把 $ 2m $ 长的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，求较短一段的长 $ x $(单位：$ m $)；
(2)一个直角三角形的斜边长为 10，两条直角边的差为 2，求较长的直角边长 $ x $；
(3)某初中毕业班的每一名同学都向全班其他同学各送一张自己的照片作为留念，全班共互相送了 2070 张照片，求全班的学生人数 $ x $.

答案： 8. 解：
(1)由题意，得$2x = (2 - x)^2$，化成一般形式得$x^2 - 6x + 4 = 0$.
(2)由题意，得$x^2 + (x - 2)^2 = 10^2$，化成一般形式得$x^2 - 2x - 48 = 0$.
(3)由题意，得$x(x - 1) = 2070$，化成一般形式得$x^2 - x - 2070 = 0$.

9. (传统文化)我国古算经《九章算术》中有一道题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”译文：“有一个满水方池，每边长一丈，池中央长了一根芦苇，露出水面恰好一尺，把芦苇的顶端拉到池边，芦苇顶端和池边水面恰好相齐，则水深和芦苇的长各是多少?”(提示：一丈$=$十尺，“丈”“尺”是我国旧用长度单位)
根据题意列出方程，判断你所列出的方程是否为一元二次方程，并求出结果.

答案： 9. 解：设水深为$x$尺，则芦苇的长为$(x + 1)$尺，依题意，得$(x + 1)^2 - x^2 = 5^2$，化简得$2x = 24$，不是一元二次方程，解得$x = 12$. 故水深为12尺，芦苇的长为13尺.