《2025年新课程学习辅导九年级数学上册人教版》

3. 如图，$AB$是$\odot O$的直径，$BC$交$\odot O$于点$D$，$DE\perp AC$于点$E$，要使$DE$是$\odot O$的切线，需补充一个条件. 下列补充的条件错误的是(A).

A.$DE = DO$
B.$AB = AC$
C.$CD = DB$
D.$AC// OD$

答案： 3.A

4. 如图，在$\mathrm{Rt}\triangle AOB$中，$OA = OB = 4$，$\odot O$的半径为$1$，$P$是$AB$边上的动点，过点$P$作$\odot O$的一条切线$PQ$，$Q$为切点，则线段$PQ$长度的最小值为(C).

A.$3\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{5}$

答案： 4.C

5. 如图，如果$AB$是$\odot O$的直径，点$O$是圆心，$BC$与$\odot O$相切于点$B$，$CO$交$\odot O$于点$D$，且$BC = 8$，$CD = 4$，那么$\odot O$的半径是6.

答案： 5.6

6. 如图，半圆$O$与等腰直角三角形两腰$CA$，$CB$分别切于$D$，$E$两点，直径$FG$在$AB$上，若$BG = \sqrt{2}-1$，则$\triangle ABC$的周长为(A).

A.$4 + 2\sqrt{2}$
B.$6$
C.$2 + 2\sqrt{2}$
D.$4$

答案： 6.A

7. 如图，$\odot O$经过菱形$ABCD$的三个顶点$A$，$C$，$D$，且与$AB$相切于点$A$.
(1)求证：$BC$为$\odot O$的切线；
(2)求$\angle ABC$的度数.

答案： 7.
(1)证明：连接OA，OC，OB.
∵AB与⊙O相切于点A，
∴∠OAB=90°.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=CB.在△ABO和△CBO中，$\begin{cases}AB = CB, \\OA = OC, \\OB = OB,\end{cases}$
∴△ABO≌△CBO(SSS).
∴∠OCB=∠OAB=90°.
∴OC⊥BC.又OC为⊙O的半径，
∴BC为⊙O的切线.
(2)解：
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ABC=∠D.
∵∠AOC=2∠D，
∴∠AOC=2∠ABC.
∵∠ABC+∠AOC+∠OAB+∠OCB=360°，∠OAB=∠OCB=90°，
∴3∠ABC=180°，即∠ABC=60°.