《2025年新课程学习辅导九年级数学上册人教版》

对于二次函数 $ y = ax^{2} + k $ 的图象：
(1)其顶点坐标为(0,k)，对称轴为y轴(或x=0).
(2)当 $ a ＞ 0 $ 时，抛物线的开口向上. 在对称轴的左侧，即当 $ x $＜0时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当 $ x $0时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大. 当 $ x $=0时，函数取得最小值，最小值是k.
(3)当 $ a ＜ 0 $ 时，抛物线的开口向下. 在对称轴的左侧，即当 $ x $＜0时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当 $ x $0时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小. 当 $ x $=0时，函数取得最大值，最大值是k.

答案：
(1)$(0,k)$ $y$轴(或$x=0$)
(2)向上$＜0$减小$＞0$增大$=0$小小$k$
(3)向下$＜0$增大$＞0$减小$=0$大大$k$

【问题】二次函数 $ y = ax^{2} + k $ 的图象是什么形状？图象有什么特点？它与二次函数 $ y = ax^{2} $ 的图象有什么联系？
【探究】先填表，再在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 $ y = x^{2} $，$ y = x^{2} + 1 $ 和 $ y = x^{2} - 1 $ 的图象，并探究它们的图象特点和性质.

答案： 解：填表和画图略.它们的图象特点和性质如下：抛物线$y=x^{2}$的开口向上，顶点坐标是$(0,0)$，对称轴为$y$轴；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x=0$时，函数值最小，最小值是$0$.抛物线$y=x^{2}+1$的开口向上，顶点坐标是$(0,1)$，对称轴为$y$轴；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x=0$时，函数值最小，最小值是$1$.抛物线$y=x^{2}-1$的开口向上，顶点坐标是$(0,-1)$，对称轴为$y$轴；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x=0$时，函数值最小，最小值是$-1$.