《2025年新课程学习辅导九年级数学上册人教版》

2. 抛物线 $ y = -2x^{2} + 1 $ 的对称轴是(C).

A.$ x = \frac{1}{2} $
B.$ x = -\frac{1}{2} $
C.$ y $ 轴
D.$ x = 2 $

答案： 2.C

3. (深圳一模)在平面直角坐标系中，二次函数 $ y = ax^{2} + k $ ($ a \neq 0 $，$ k ＞ 0 $)的图象可能是(A).

答案： 3.A

4. 二次函数 $ y = (a^{2} + 1)x^{2} + 4 $ ( $ a $ 是常数)的最小值是4.

答案： 4.4

5. (广东)如图，若抛物线 $ y = ax^{2} + c $ 经过正方形 $ OABC $ 的三个顶点 $ A $，$ B $，$ C $，点 $ B $ 在 $ y $ 轴上，则 $ ac $ 的值为(B).

A.$ -1 $
B.$ -2 $
C.$ -3 $
D.$ -4 $

答案： 5.B

6. 函数 $ y = \frac{1}{2}x^{2} + 1 $ 和 $ y = \frac{1}{2}x^{2} $ 的图象如图所示，则图中阴影部分的面积为4.

答案： 6.4

7. 若二次函数 $ y = ax^{2} + b $ 的最大值为 4，且该函数的图象经过点 $ A(1, 3) $.
(1)$ a = $-1，$ b = $4，顶点 $ D $ 的坐标为(0,4)；
(2)求与该抛物线关于 $ x $ 轴对称的抛物线的函数解析式；
(3)在抛物线 $ y = ax^{2} + b $ 上是否存在点 $ B $，使得 $ S_{\triangle DOB} = 2S_{\triangle AOD} $ ( $ O $ 为坐标原点)? 若存在，请求出点 $ B $ 的坐标；若不存在，请说明理由.

答案： 7.
(1)$-1$ $4$ $(0,4)$
(2)$\because$抛物线$y=-x^{2}+4$关于$x$轴对称的抛物线为$-y=-x^{2}+4$，$\therefore$所求抛物线的函数解析式为$y=x^{2}-4$.
(3)假设存在点$B(x,y)$，由题意，得$\frac{S_{\triangle DOB}}{S_{\triangle AOD}}=2$，$\therefore\frac{\frac{1}{2}OD\cdot|x|}{\frac{1}{2}OD\cdot1}=2$，$\therefore|x|=2$，$\therefore x=\pm2$.$\because$当$x=2$时，$y=-x^{2}+4=0$；当$x=-2$时，$y=-x^{2}+4=0$，$\therefore$存在这样的点$B$，它的坐标为$(2,0)$或$(-2,0)$.