《2025年新课程学习辅导九年级数学上册人教版》

4. 已知点$P(2,-3)$，求：
(1)点$P$分别关于$x$轴、$y$轴、原点的对称点$M_1$，$M_2$，$M_3$的坐标；
(2)点$P$分别到$x$轴、$y$轴、原点的距离.

答案： 4.解：
(1)点$P(2,-3)$关于$x$轴、$y$轴、原点的对称点$M_1$，$M_2$，$M_3$的坐标分别为$(2,3)$，$(-2,-3)$，$(-2,3)$.
(2)点$P$到$x$轴、$y$轴、原点的距离分别为$3$，$2$，$\sqrt{13}$.

5. (汕头期末)如图，在平面直角坐标系中，点$A$，$B$，$C$的坐标分别为$(-2,0)$，$(-3,-3)$，$(-1,-1)$.
(1)将$\triangle ABC$平移后得到$\triangle A_1B_1C_1$，若点$C$对应的点$C_1$的坐标为$(4,-2)$，画出平移后的$\triangle A_1B_1C_1$；
(2)画出$\triangle ABC$关于$x$轴对称的$\triangle A_2B_2C_2$；
(3)画出$\triangle ABC$关于原点$O$成中心对称的$\triangle A_3B_3C_3$.

答案：
(1) $\triangle A_1B_1C_1$各点坐标：
由$C(-1,-1)$平移至$C_1(4,-2)$，
平移向量为$(5, -1)$，
$A_1 = (-2+5, 0-1) = (3, -1)$，
$B_1 = (-3+5, -3-1) = (2, -4)$，
$C_1 = (4, -2)$，
在坐标系中标出$A_1(3,-1)$，$B_1(2,-4)$，$C_1(4,-2)$，并连接成三角形。
(2) $\triangle A_2B_2C_2$各点坐标：
关于$x$轴对称，$y$坐标取反，
$A_2 = (-2, 0)$，
$B_2 = (-3, 3)$，
$C_2 = (-1, 1)$，
在坐标系中标出$A_2(-2,0)$，$B_2(-3,3)$，$C_2(-1,1)$，并连接成三角形。
(3) $\triangle A_3B_3C_3$各点坐标：
关于原点对称，$x$和$y$坐标均取反，
$A_3 = (2, 0)$，
$B_3 = (3, 3)$，
$C_3 = (1, 1)$，
在坐标系中标出$A_3(2,0)$，$B_3(3,3)$，$C_3(1,1)$，并连接成三角形。

6. 在平面直角坐标系中，已知点$A(3,0)$，$B(2,3)$，点$B$关于原点对称的点为$C$.
(1)在图中标出$A$，$B$，$C$三点；
(2)求$\triangle ABC$的面积.

答案：
1.
2. 然后求$\triangle ABC$的面积：
解：设$AC$与$y$轴交点为$D$。
先求直线$AC$的解析式，设直线$AC$的解析式为$y = kx + b$（$k\neq0$）。
把$A(3,0)$，$C(-2,-3)$代入$y = kx + b$得$\begin{cases}3k + b = 0\\-2k + b=-3\end{cases}$。
用$3k + b = 0$减去$-2k + b=-3$：
$(3k + b)-(-2k + b)=0 - (-3)$，即$3k + b + 2k - b = 3$，$5k = 3$，解得$k=\frac{3}{5}$。
把$k = \frac{3}{5}$代入$3k + b = 0$，得$3×\frac{3}{5}+b = 0$，$b=-\frac{9}{5}$。
所以直线$AC$的解析式为$y=\frac{3}{5}x-\frac{9}{5}$。
当$x = 0$时，$y=-\frac{9}{5}$，则$D(0,-\frac{9}{5})$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高）。
$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle CBD}$。
$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}×|x_{A}-x_{C}|×|y_{B}-y_{D}|$，$x_{A}=3$，$x_{C}=-2$，$y_{B}=3$，$y_{D}=-\frac{9}{5}$。
$|x_{A}-x_{C}|=|3-(-2)| = 5$，$|y_{B}-y_{D}|=|3-(-\frac{9}{5})|=\frac{15 + 9}{5}=\frac{24}{5}$。
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×5×(3+\frac{9}{5})$
$=\frac{1}{2}×5×\frac{15 + 9}{5}$
$=\frac{1}{2}×24$
$ = 12$。
或者用割补法：
解：过$B$作$BE\perp x$轴于$E$，过$C$作$CF\perp x$轴于$F$。
$S_{\triangle ABC}=S_{梯形BEFC}+S_{\triangle ABE}-S_{\triangle ACF}$。
$S_{梯形BEFC}=\frac{1}{2}(BE + CF)×|x_{E}-x_{F}|=\frac{1}{2}(3 + 3)×(2 + 2)=12$。
$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}×(3 - 2)×3=\frac{3}{2}$，$S_{\triangle ACF}=\frac{1}{2}×(3 + 2)×3=\frac{15}{2}$。
$S_{\triangle ABC}=12+\frac{3}{2}-\frac{15}{2}=12$。
所以$\triangle ABC$的面积为$12$。

7. 在平面直角坐标系中，已知点$A(2a - b,-8)$与点$B(-2,a + 3b)$关于原点对称，求$a$，$b$的值.

答案： 7.解：由题意得$\begin{cases}2a - b = 2,\\a + 3b = 8,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 2,\\b = 2.\end{cases}$

8. 在平面直角坐标系中，一颗棋子从点$P(-3,2)$处开始跳动，第$1$次跳到点$P$关于$x$轴的对称点$P_1$处，第$2$次跳到点$P_1$关于$y$轴的对称点$P_2$处，第$3$次跳到点$P_2$关于原点的对称点$P_3$处，第$4$次跳到点$P_3$关于$x$轴的对称点$P_4$处，……如此循环下去. 当跳动第$2025$次时，棋子落点处的坐标是$(-3,2)$.

答案： 8.$(-3,2)$