《2025年新课程学习辅导九年级数学上册人教版》

7. (湛江期末)如图，二次函数 $ y = x^{2} + bx + c $ 的图象与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，其中 $ A(-1, 0) $，$ B(3, 0) $。
(1) 求二次函数的解析式；
(2) 若 $ P $ 是二次函数图象上的一点，且点 $ P $ 在第一象限，线段 $ PC $ 交 $ x $ 轴于点 $ D $，$ S_{\triangle PAD} = S_{\triangle CAD} $，求点 $ P $ 的坐标。

答案： 7. 解：
(1)
∵二次函数$y = x^{2}+bx + c$的图象过点$A(-1,0)$，$B(3,0)$，
∴$\begin{cases}1 - b + c = 0,\\9 + 3b + c = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}b = -2,\\c = -3.\end{cases}$
∴二次函数的解析式为$y = x^{2}-2x - 3$。
(2)设$P(m,n)(m ＞ 0$，$n ＞ 0)$，在$y = x^{2}-2x - 3$中，当$x = 0$时，$y = -3$，
∴$OC = 3$。
∵$S_{\triangle PAD}=S_{\triangle CAD}$，
∴$\frac{1}{2}AD\cdot n = \frac{1}{2}AD\cdot OC$。
∴$n = 3$。
∵点$P(m,n)$在二次函数图象上，
∴$m^{2}-2m - 3 = 3$，解得$m_1 = 1+\sqrt{7}$，$m_2 = 1-\sqrt{7}$（舍去）。
∴点$P$的坐标为$(1+\sqrt{7},3)$。

8. 如图，抛物线 $ y = x^{2} + bx + c $ 经过 $ A(-1, 0) $，$ B(3, 0) $ 两点。
(1) 求这条抛物线对应的函数解析式和顶点坐标；
(2) 当 $ 0 ＜ x ＜ 3 $ 时，求 $ y $ 的取值范围；
(3) $ P $ 为抛物线上一点，若 $ S_{\triangle PAB} = 12 $，求点 $ P $ 的坐标。

答案： 8* 解：
(1)把点$A(-1,0)$，$B(3,0)$分别代入$y = x^{2}+bx + c$中，得$\begin{cases}1 - b + c = 0,\\9 + 3b + c = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}b = -2,\\c = -3,\end{cases}$
∴抛物线对应的函数解析式为$y = x^{2}-2x - 3$。
∵$y = x^{2}-2x - 3 = (x - 1)^{2}-4$，
∴顶点坐标为$(1,-4)$。
(2)由图象可得当$0 ＜ x ＜ 3$时，$-4\leqslant y ＜ 0$。
(3)
∵$A(-1,0)$，$B(3,0)$，
∴$AB = 4$。设$P(x,y)$，则$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}AB\cdot|y| = 2|y| = 12$，
∴$|y| = 6$，即$y = \pm6$。①当$y = 6$时，$x^{2}-2x - 3 = 6$，解得$x_1 = 1+\sqrt{10}$，$x_2 = 1-\sqrt{10}$，此时点$P$的坐标为$(1+\sqrt{10}, 6)$或$(1-\sqrt{10},6)$。②当$y = -6$时，$x^{2}-2x - 3 = -6$，方程无实数根，此时点$P$不存在。综上所述，点$P$的坐标为$(1+\sqrt{10},6)$或$(1-\sqrt{10},6)$。