《2025年新课程学习辅导九年级数学上册人教版》

6. 如图，将含有 $ 60^{\circ} $ 角的三角尺摆放在半圆形纸片上，$ O $ 为圆心，则 $ \angle ACO $ 的度数为120°.

答案： 6.120°

7. 如图，$ Rt \triangle ABC $ 的三个顶点 $ A $，$ B $，$ C $ 都在 $ \odot O $ 上.求证：$ Rt \triangle ABC $ 斜边 $ AB $ 的中点是 $ \odot O $ 的圆心.

答案： 7.证明：取AB的中点M，连接MC.
∵△ABC是直角三角形，AB是斜边，
∴MA=MB=MC.又
∵OA=OB=OC，
∴O是AB的中点.故点M与点O重合，即Rt△ABC斜边AB的中点是⊙O的圆心.

8. 如图，$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径，$ CD $ 是 $ \odot O $ 的弦，$ AB $，$ CD $ 的延长线相交于点 $ E $，若 $ AB = 2DE $，$ \angle E = 18^{\circ} $，则 $ \angle AOC $ 的度数为54°.

答案： 8.54°

9. 如图，直线 $ AB $ 经过 $ \odot O $ 的圆心，与 $ \odot O $ 相交于点 $ A $，$ B $，点 $ C $ 在 $ \odot O $ 上，且 $ \angle AOC = 30^{\circ} $，$ P $ 是直线 $ AB $ 上的一个动点(不与点 $ O $ 重合)，直线 $ PC $ 与 $ \odot O $ 相交于点 $ Q $.要使 $ QP = QO $，这样的点 $ P $ 共有几个？并求出此时 $ \angle OCP $ 的度数.

答案：
9.解：共有3个.①如图1，当点P在线段OA上时，在△QOC中，OC=OQ，
∴∠OQC=∠OCP.在△OPQ中，QP=QO，
∴∠QOP=∠QPO.又∠QPO=∠OCP+∠AOC，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，
∴3∠OCP=120°.
∴∠OCP=40°.

②如图2，当点P在线段OA的延长线上时，
∵OC=OQ，
∴∠OQP=$\frac{180° - ∠QOC}{2}$.
∵QP=QO，
∴∠OPQ=$\frac{180° - ∠OQP}{2}$.在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°，
∴∠QOC=20°，∠OQP=80°.
∴∠OCP=100°.

③如图3，当点P在线段AO的延长线上时，
∵OC=OQ，
∴∠OCP=∠OQC.
∵QP=QO，
∴∠QPB=∠POQ.
∴∠OCP=∠OQC=2∠QPB.
∵∠AOC=30°，∠AOC=∠QPB+∠OCP，
∴∠QPB=10°，∠OCP=20°.