《2025年新课程学习辅导九年级数学上册人教版》

4. 已知二次函数 $ y = x^{2}+bx - c $ 的图象与 $ x $ 轴的两个交点的坐标分别为 $ (m,0) $，$ (-3m,0) $($ m \neq 0 $).
(1) 求证：$ 4c = 3b^{2} $；
(2) 若该函数图象的对称轴是 $ x = 1 $，试求二次函数的最小值.

答案：
(1)证明：依题意，得$m$，$-3m$是一元二次方程$x^2 + bx - c = 0$的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = m + (-3m)= -b$，$x_1x_2 = m(-3m)= -c$，$\therefore b = 2m$，$c = 3m^2$. $\therefore 4c = 12m^2 = 3b^2$.
(2)解：由题意得$-\frac{b}{2} = 1$，$\therefore b = -2$.由
(1)得$c = \frac{3}{4}b^2 = \frac{3}{4}×(-2)^2 = 3$，$\therefore y = x^2 - 2x - 3 = (x - 1)^2 - 4$. $\therefore$二次函数的最小值为$-4$.

5.(中山一模)如图，抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^{2}-4x + 6 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ A $，与 $ x $ 轴交于点 $ B $，线段 $ CD $ 在抛物线的对称轴上移动(点 $ C $ 在点 $ D $ 下方)，且 $ CD = 3 $. 当四边形 $ ABCD $ 的周长最小时，点 $ D $ 的坐标为(B).


A.$ (4,3) $
B.$ (4,4) $
C.$ (4,5) $
D.$ (4,6) $

答案： B

6.(广州)已知抛物线 $ y = x^{2}-(m + 1)x + 2m + 3 $.
(1) 当 $ m = 0 $ 时，请判断点 $ (2,4) $ 是否在该抛物线上；
(2) 该抛物线的顶点随着 $ m $ 的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
(3) 已知点 $ E(-1,-1) $，$ F(3,7) $，若该抛物线与线段 $ EF $ 只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围.

答案： 解：
(1)当$m = 0$时，$y = x^2 - x + 3$.当$x = 2$时，$y = 5$. $\therefore$点$(2,4)$不在该抛物线上.
(2)顶点坐标为$(\frac{m + 1}{2},\frac{4(2m + 3)-[-(m + 1)]^2}{4})$，化简得$(\frac{m + 1}{2},\frac{-m^2 + 6m + 11}{4})$.顶点移动到最高处时，即顶点纵坐标取得最大值. $\because \frac{-m^2 + 6m + 11}{4} = -\frac{1}{4}(m - 3)^2 + 5$，$\therefore$当$m = 3$时满足题意，此时顶点坐标为$(2,5)$.
(3)设直线$EF$的解析式为$y = kx + b(k\neq0)$，将$(-1,-1)$，$(3,7)$代入得$\begin{cases}-1 = -k + b\\7 = 3k + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 2\\b = 1\end{cases}$ 即$y = 2x + 1$.由$\begin{cases}y = 2x + 1\\y = x^2 - (m + 1)x + 2m + 3\end{cases}$，得$\begin{cases}x = 2\\y = 5\end{cases}$或$\begin{cases}x = m + 1\\y = 2m + 3\end{cases}$，即抛物线与直线$EF$的交点为$(2,5)$和$(m + 1,2m + 3)$.
$\because$点$(2,5)$在线段$EF$上，且抛物线与线段$EF$只有一个交点，$\therefore$点$(m + 1,2m + 3)$不在线段$EF$上或点$(m + 1,2m + 3)$与$(2,5)$重合. $\therefore m + 1 ＜ -1$或$m + 1 ＞ 3$或$m + 1 = 2$.此时抛物线顶点横坐标的取值范围为$x ＜ -\frac{1}{2}$或$x ＞ \frac{3}{2}$或$x = 1$.