《2025年新课程学习辅导九年级数学上册人教版》

7. 如图，小华从市场上买回一块矩形铁皮，他将这块铁皮的四个角各剪去一个边长为 $1 m$ 的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为 $15 m^{3}$ 的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多 $2 m$. 已知购买这种铁皮每平方米需 $20$ 元，算一算小华买回这张矩形铁皮共花了多少钱.

8*. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle B = 90^{\circ}$，$AB = 5 cm$，$BC = 7 cm$. 点 $P$ 从点 $A$ 开始沿 $AB$ 边向点 $B$ 以 $1 cm/s$ 的速度移动，点 $Q$ 从点 $B$ 开始沿 $BC$ 边向点 $C$ 以 $2 cm/s$ 的速度移动. $P$，$Q$ 两点同时出发，当点 $Q$ 移动到点 $C$ 时，$P$，$Q$ 两点均停止移动.
(1)点 $P$，$Q$ 出发后第几秒时，$\triangle PBQ$ 的面积为 $4 cm^{2}$?
(2)点 $P$，$Q$ 出发后第几秒时，$PQ$ 的长为 $5 cm$?
(3)$\triangle PBQ$ 的面积能否为 $7 cm^{2}$? 请说明理由.

答案： 7．解：设无盖长方体箱子的宽为$x$m，则长为$(x + 2)$m，由题意知$x(x + 2) × 1 = 15$，整理得$x^2 + 2x - 15 = 0$，解得$x_1 = 3$，$x_2 = -5$（不合题意，舍去），则矩形铁皮的面积为$(5 + 2) × (3 + 2) = 35(m^2)$，$35 × 20 = 700$（元）. 答：买回这张铁皮共花了700元. 8.解：设点$P$，$Q$移动的时间为$x$s，则$PB = (5 - x)$cm，$BQ = 2x$cm，可知$0 ＜ x \leq 3.5$.
(1)由$S_{\triangle PBQ} = \frac{1}{2} \cdot PB \cdot BQ$，得$\frac{1}{2} × (5 - x) × 2x = 4$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = 4$（不合题意，舍去）.故点$P$，$Q$出发后第1s时，$\triangle PBQ$的面积为$4cm^2$.
(2)由题意知$PQ^2 = PB^2 + BQ^2$，若$PQ = 5$cm，则$25 = (5 - x)^2 + (2x)^2$，解得$x_1 = 0$（不合题意，舍去），$x_2 = 2$.故点$P$，$Q$出发后第2s时，$PQ$的长为5cm.
(3)不能.理由如下：依题意，得$\frac{1}{2} × (5 - x) × 2x = 7$，整理，得$x^2 - 5x + 7 = 0$. $\because \Delta = 25 - 4 × 1 × 7 = -3 ＜ 0$，$\therefore$此方程无解. $\therefore \triangle PBQ$的面积不能为$7cm^2$.