《2025年新课程学习辅导九年级数学上册人教版》

7. (广东)如图，四边形$ABCD$内接于$\odot O$，$AC$为$\odot O$的直径，$\angle ADB = \angle CDB$.
(1)试判断$\triangle ABC$的形状，并给出证明；
(2)若$AB = \sqrt{2}$，$AD = 1$，求$CD$的长.

答案： 7.
(1)$\triangle ABC$是等腰直角三角形.证明如下：$\because AC$为$\odot O$的直径，$\therefore\angle ADC=\angle ABC=90^{\circ}.\because\angle ADB=\angle CDB$，$\therefore\widehat{AB}=\widehat{BC}$.$\therefore AB=BC$.$\therefore\triangle ABC$是等腰直角三角形.
(2)在$Rt\triangle ABC$中，$AB=BC=\sqrt{2}$，$\therefore AC=2$.在$Rt\triangle ADC$中，$AD=1$，$AC=2$，$\therefore CD=\sqrt{3}$.

8. 如图，$AB$，$CD$是$\odot O$的两条弦，$AC$与$BD$相交于点$E$，$AB = CD$.
(1)求证：$AC = BD$；
(2)连接$BC$，作直线$EO$，求证：$EO\perp BC$.

答案： 8.
(1)证明：$\because AB=CD$，$\therefore\widehat{AB}=\widehat{CD}$.$\therefore\widehat{AB}+\widehat{AD}=\widehat{CD}+\widehat{AD}$，即$\widehat{BD}=\widehat{AC}$.$\therefore AC=BD$.
(2)连接$OB$，$OC$，$\because AB = CD$，$\therefore\widehat{AB}=\widehat{CD}$.$\therefore\angle ACB=\angle DBC$.$\therefore EB=EC$.又$\because OB=OC$，$\therefore$点$E$，$O$都在$BC$的垂直平分线上.$\therefore EO\perp BC$.

9. 如图，$AB$为$\odot O$的直径，$CD\perp AB$，垂足为$E$，$\angle CDB = 15^{\circ}$，$OE = 2\sqrt{3}$.
(1)求$\odot O$的半径；
(2)将$\triangle OBD$绕点$O$旋转，使弦$BD$的一个端点与弦$AC$的一个端点重合，请直接写出旋转后的弦$BD$与弦$AC$的夹角的度数.

答案：
9.
(1)$\because AB$为$\odot O$的直径，弦$CD\perp AB$于点$E$，$\therefore BC=BD$.$\therefore\angle BOD=2\angle CDB=2×15^{\circ}=30^{\circ}$.在$Rt\triangle ODE$中，$\angle DOE=30^{\circ}$，$OE=2\sqrt{3}$，$\therefore2DE=OD$，$DE^{2}+OE^{2}=OD^{2}$，解得$OD=4$，即$\odot O$的半径为$4$.
(2)$60^{\circ}$或$90^{\circ}$.提示：有$4$种情况.①如图1所示，$\because OA=OB'$，$\angle AOB'=30^{\circ}$，$\therefore\angle OAB'=\angle OB'A=75^{\circ}$.又$\because\angle CAB=\angle CDB=15^{\circ}$，$\therefore\angle CAB'=\angle OAB'+\angle CAB=75^{\circ}+15^{\circ}=90^{\circ}$；②如图2所示，$\angle CAD'=75^{\circ}-15^{\circ}=60^{\circ}$；③如图3所示，$\angle ACB=90^{\circ}$；④如图4所示，$\angle ACB'=75^{\circ}-15^{\circ}=60^{\circ}$.