《2025年同步练习册泰山出版社七年级数学上册青岛版》

7. 计算：$(-2)^{2} + (-1 - 3)÷(-\frac{2}{3}) + |-\frac{1}{16}|×(-2^{4})$。

答案： 9

8. 计算：$(-16)÷(\frac{1}{4} - \frac{1}{3})×12$。
小莹与小亮的解答过程如下：

(1)小莹解答过程中有错误的地方是第二步；小亮解答过程中有错误的地方是第一步。
(2)请写出正确的解答过程。
(2)原式$=(-16)÷\left(-\dfrac{1}{12}\right)×12=(-16)×(-12)×12=2304$。

答案：
(1)二；一
(2)原式$=(-16)÷\left(-\dfrac{1}{12}\right)×12=(-16)×(-12)×12=2304$。

9. 德国数学家莱布尼茨证明了$π = 4×(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \frac{1}{13} - \frac{1}{15} + …)$,由此可知：$\frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \frac{1}{11} - \frac{1}{13} + \frac{1}{15} - … = $$\dfrac{4-\pi}{4}$。

答案： $\dfrac{4-\pi}{4}$

10. 定义一种新运算：
$1\otimes3 = 4×1 - 3 = 1$；
$5\otimes2 = 4×5 - 2 = 18$；
$3\otimes(-1) = 4×3 + 1 = 13$；
$(-2)\otimes(-3) = 4×(-2) + 3 = -5$。
(1)通过观察上面的式子,可知：$(-3)\otimes2 = $-14；
(2)想一想：$a\otimes b = $$4a - b$；(用含$a$,$b$的式子表示)
(3)若$a\otimes(-5) = (-3)\otimes a$,则$a = $-3.4。

答案：
(1)-14
(2)$4a - b$
(3)$-3.4$

11. 【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数(均不等于$0$)的除法运算叫作除方,如$2÷2÷2$,$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$等。类比有理数的乘方,我们把$2÷2÷2记作2^{③}$,读作“$2的圈3$次方”。$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记作(-3)^{④}$,读作“$-3的圈4$次方”,一般地,把$a÷a÷a÷…÷a$,($n个a$,$a≠0$)记作$a^{ⓝ}$,读作“$a的圈n$次方”。
【初步探究】
(1)规定：除方$\to2^{④} = 2÷2÷2÷2 = 2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^{2} \to$乘方：幂的形式。
①直接写出计算结果：$2^{③} = $$\dfrac{1}{2}$,$(-\frac{1}{2})^{⑤} = $$-8$；
②(多选)关于除方,下列说法正确的是(ABD)。
A. 任何非零数的圈$2次方都等于1$
B. 对于任何正整数$n$,$1^{ⓝ} = 1$
C. $3^{④} = 4^{③}$
D. 负数的圈奇数次方结果是负数,负数的圈偶数次方结果是正数
【深入探究】
(2)我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
①试一试：仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成幂的形式。$(-3)^{④} = $$\dfrac{1}{9}$,$5^{⑥} = $$\left(\dfrac{1}{5}\right)^4$,$(-\frac{1}{2})^{⑩} =$$2^8$；
②想一想：将一个非零有理数$a的圈n$次方写成幂的形式等于$a^{ⓝ}=\left(\dfrac{1}{a}\right)^{n-2}$；
③算一算：$12÷(-\frac{1}{3})^{④}×(-\frac{1}{2})^{⑤} - (-\frac{1}{3})^{⑥}÷3$。
解:$12÷\left(-\dfrac{1}{3}\right)^④×\left(-\dfrac{1}{2}\right)^⑤-\left(-\dfrac{1}{3}\right)^⑥÷3=12÷(-3)^2×(-2)^3-(-3)^4÷3$，$=12÷9×(-8)-81÷3=-\dfrac{32}{3}-27=-\dfrac{113}{3}$。

答案：
(1)①$\dfrac{1}{2}$；-8 ②ABD
(2)①$\dfrac{1}{9}$；$\left(\dfrac{1}{5}\right)^4$；$2^8$ ②$a^{ⓝ}=\left(\dfrac{1}{a}\right)^{n-2}$ ③解:$12÷\left(-\dfrac{1}{3}\right)^④×\left(-\dfrac{1}{2}\right)^⑤-\left(-\dfrac{1}{3}\right)^⑥÷3=12÷(-3)^2×(-2)^3-(-3)^4÷3$，$=12÷9×(-8)-81÷3=-\dfrac{32}{3}-27=-\dfrac{113}{3}$。