《2025年同步练习册泰山出版社七年级数学上册青岛版》

7. 已知$a$,$b$为非零有理数。
(1)当$a＞0$时,求$\frac{a}{|a|}$的值；
(2)当$ab＜0$时,求$\frac{ab}{|ab|}$的值。

答案： 1. （1）
解：
已知$a\gt0$，根据绝对值的性质：当$x\gt0$时，$\vert x\vert=x$，所以$\vert a\vert = a$。
则$\frac{a}{\vert a\vert}=\frac{a}{a}$（$a\neq0$），根据分式的基本性质，分子分母相同（$a\neq0$）的分式值为$1$，所以$\frac{a}{\vert a\vert}=1$。
2. （2）
解：
已知$ab\lt0$，根据绝对值的性质：当$x\lt0$时，$\vert x\vert=-x$，所以$\vert ab\vert=-ab$。
则$\frac{ab}{\vert ab\vert}=\frac{ab}{-ab}$（$ab\neq0$），根据分式的基本性质，分子分母互为相反数（$ab\neq0$）的分式值为$-1$，所以$\frac{ab}{\vert ab\vert}=-1$。
综上，（1）$\frac{a}{\vert a\vert}=1$；（2）$\frac{ab}{\vert ab\vert}=-1$。

8. 【材料阅读】我们知道,每个自然数都有因数,将这个自然数的所有正奇数因数之和减去所有正偶数因数之和,再除以这个自然数所得的商叫作这个自然数的“完美指标”。例如：$10的正因数有1$,$2$,$5$,$10$,它的正奇数因数是$1$,$5$,它的正偶数因数是$2$,$10$。所以$10$的“完美指标”是$[(1 + 5)-(2 + 10)]÷10= -\frac{3}{5}$。我们规定：若一个自然数的“完美指标”的绝对值越小,这个数就越“完美”。例如,$6$的“完美指标”是$[(1 + 3)-(2 + 6)]÷6= -\frac{2}{3}$；$7$没有正偶数因数,$7$的“完美指标”是$(1 + 7)÷7= \frac{8}{7}$；因为$\left|-\frac{2}{3}\right|＜\left|\frac{8}{7}\right|$,所以$6比7$更“完美”。
【问题探究】根据上述材料,求出$18$,$19$,$21$这三个自然数中最“完美”的数。

答案： 解:18的正因数有1,2,3,6,9,18,正奇数因数有1,3,9,正偶数因数有2,6,18,18的"完美指标"是[(1+3+9)-(2+6+18)]÷18=$-\frac{13}{18}$;19的正因数有1,19,正奇数因数有1,19,无正偶数因数,19的"完美指标"是(1+19)÷19=$\frac{20}{19}$;21的正因数有1,3,7,21,正奇数因数有1,3,7,21,无正偶数因数,21的"完美指标"是(1+3+7+21)÷21=$\frac{32}{21}$。因为$|-\frac{13}{18}|＜\frac{20}{19}＜\frac{32}{21}$,所以18是18,19,21这三个自然数中最"完美"的数。