《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

3. (18 分)(2024·江西省部分高中二模)如图所示，质量均为 m 的 n 个小物块等间距地放置在倾角为 $ \theta $ 的足够长的斜面上，斜面与物块间的动摩擦因数均为 $ \mu = 2\tan\theta $，相邻物块间距为 L。现给物块 1 一个瞬时冲量 I，使其向下运动与物块 2 碰撞并粘在一起，之后向下运动再与物块 3 碰撞并粘在一起……碰撞时间极短，物块均可看成质点，不计空气阻力，重力加速度为 g，已知 $ 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{1}{2}n(n + 1) $，$ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1) $。求：

(1)(3 分)物块 1 在和 2 碰撞后瞬间的速度大小；
(2)(6 分)从物块 1 开始运动到物块 $ (n - 1) $ 和 n 碰撞前瞬间，运动的物块克服摩擦力做的功；
(3)(9 分)为使

第

n 个物块能向下运动，给物块 1 的瞬时冲量 I 应满足的条件。

答案： $3.(1)\frac{1}{2}\sqrt{\frac{I^{2}}{m^{2}} - 2gL\sin\theta}$
$(2)n(n - 1)mgL\sin\theta$
$(3)I ＞ \sqrt{\frac{n(n - 1)(2n - 1)}{3}m^{2}gL\sin\theta}$
解析
(1)物块1沿斜面下滑L，由动能定理有$mgL\sin\theta - \mu mgL\cos\theta = \frac{1}{2}mv_{1}^{2} - \frac{I^{2}}{2m}$
物块1与2相碰撞动量守恒有$mv_{1} = 2mv_{1}'$
解得物块1和2碰撞后瞬间的共同速度大小为
$v_{1}' = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{I^{2}}{m^{2}} - 2gL\sin\theta}$
(2)物块1沿斜面向下运动L的过程中，克服摩擦力做的功为$Q_{1} = \mu mgL\cos\theta$
前2个物块碰撞后沿斜面向下运动L的过程中，克服摩擦力做的功为$Q_{2} = 2\mu mgL\cos\theta$
前(n - 1)个物块碰撞后沿斜面向下运动L的过程中，克服摩擦力做的功为$Q_{n - 1} = (n - 1)\mu mgL\cos\theta$
则物块(n - 1)和n碰撞前，运动物块克服摩擦力做的功为$Q = [1 + 2 + 3 + \cdots + (n - 1)]\mu mgL\cos\theta = n(n - 1)mgL\sin\theta$
(3)物块1和2碰撞前瞬间动能为
$E_{1} = \frac{I^{2}}{2m} + mgL\sin\theta - \mu mgL\cos\theta = \frac{I^{2}}{2m} - mgL\sin\theta$
根据
(1)问结论，碰撞后瞬间系统动能
$E_{1}' = \frac{1}{2}E_{1} = \frac{I^{2}}{4m} - \frac{1}{2}mgL\sin\theta$
物块1、2和3碰撞前瞬间，系统动能$E_{2} = E_{1}' + 2(mgL\sin\theta - \mu mgL\cos\theta) = \frac{I^{2}}{4m} - \frac{1}{2}(1^{2} + 2^{2})mgL\sin\theta$
物块1、2和3碰撞后瞬间，系统动能
$E_{2}' = \frac{2}{3}E_{2} = \frac{I^{2}}{6m} - \frac{1}{3}(1^{2} + 2^{2})mgL\sin\theta$
物块1、2、3和4碰撞前瞬间，系统动能$E_{3} = E_{2}' + 3(mgL\sin\theta - \mu mgL\cos\theta) = \frac{I^{2}}{6m} - \frac{1}{3}(1^{2} + 2^{2} + 3^{2})mgL\sin\theta$
以此类推，在前(n - 1)个物块与物块n碰撞前瞬间，系统动能
$E_{n - 1} = \frac{I^{2}}{2(n - 1)m} - \frac{n(2n - 1)}{6}mgL\sin\theta$
为使第n个物块能向下运动，必须有$E_{n - 1} ＞ 0$
解得$I ＞ \sqrt{\frac{n(n - 1)(2n - 1)}{3}m^{2}gL\sin\theta}。$