《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

4. (8 分)(2024·天津市蓟州区期末)某同学利用如图所示的实验装置验证机械能守恒定律。将气垫导轨固定在水平桌面上，调节旋钮使其水平，在气垫导轨的左端固定一光滑的定滑轮，在 $ B $ 处固定一光电门，测出滑块及遮光条的总质量为 $ m $，将质量为 $ M $ 的钩码通过细线与滑块连接。打开气源，滑块从 $ A $ 处由静止释放，宽度为 $ d $ 的遮光条经过光电门 $ B $ 时挡光时间为 $ t $，$ A $、$ B $ 之间的距离为 $ l $，实验中钩码始终未与地面接触，重力加速度为 $ g $。

(1)(6 分)滑块由 $ A $ 点运动到 $ B $ 点的过程中，系统重力势能减少量 $ \Delta E_p $ 为$Mgl$，系统动能增加量 $ \Delta E_k $ 为$\frac{(M+m)d^2}{2t^2}$(均用题中所给字母表示)。
(2)(2 分)若实验结果发现按上述公式计算，$ \Delta E_k $ 总是大于 $ \Delta E_p $，可能的原因是C。
A. 存在空气阻力
B. 测出滑块右端与光电门 $ B $ 之间的距离作为 $ l $
C. 测出滑块左端与光电门 $ B $ 之间的距离作为 $ l $

答案： 4.
(1)$Mgl \frac{(M+m)d^2}{2t^2}$
(2)C
解析
(1)根据重力势能的表达式可知滑块由$A$点运动到$B$点的过程中，系统重力势能减少量$\Delta E_p=Mgl$
滑块在光电门$B$的速度为$v_B=\frac{d}{t}$，
所以系统动能的增加量为
$\Delta E_k=\frac{1}{2}(M+m)v_B^2=\frac{(M+m)d^2}{2t^2}$
(2)若存在空气阻力，$\Delta E_k$总是小于$\Delta E_p$，故A错误；将滑块右端与光电门$B$之间的距离作为$l$，钩码下落的高度偏大，$\Delta E_k$将小于$\Delta E_p$，故B错误；将滑块左端与光电门$B$之间的距离作为$l$，钩码下落的高度偏小，$\Delta E_p$将大于$\Delta E_p$，故C正确。

5. (8 分)(2025·湖北武汉市检测)某同学用如图甲所示的装置验证轻弹簧和小物块(带有遮光条)组成的系统机械能守恒。图中光电门安装在铁架台上且位置可调。物块释放前，细线与弹簧和物块的拴接点($ A $、$ B $)在同一水平线上，且弹簧处于原长。滑轮质量不计且滑轮凹槽中涂有润滑油，以保证细线与滑轮之间的摩擦可以忽略不计，细线始终伸直。小物块连同遮光条的总质量为 $ m $，弹簧的劲度系数为 $ k $，重力加速度为 $ g $，遮光条的宽度为 $ d $，小物块释放点与光电门之间的距离为 $ l $($ d $ 远远小于 $ l $)。已知弹簧的弹性势能表达式为 $ E_p = \frac{1}{2}kx^2 $，其中 $ k $ 为弹簧的劲度系数，$ x $ 为弹簧的形变量。现将小物块由静止释放，记录遮光条通过光电门的时间 $ t $。

(1)(2 分)改变光电门的位置，重复实验，每次物块均从 $ B $ 点静止释放，记录多组 $ l $ 和对应的时间 $ t $，作出 $ \frac{1}{t^2} - l $ 图像如图乙所示，若在误差允许的范围内，$ \frac{1}{t^2} $ 与 $ l $ 满足关系$\frac{1}{t^2}=-\frac{k}{md^2}l^2+\frac{2g}{d^2}l$，可验证轻弹簧和小物块组成的系统机械能守恒。
(2)(4 分)在(1)中条件下，$ l $ 取某个值时，可以使物块通过光电门时的速度最大，速度最大值为$\sqrt{gl_2}$(用 $ l_2 $、$ g $ 表示)，此时物块的加速度大小为0。
(3)(2 分)在(1)中条件下，$ l = l_1 $ 和 $ l = l_3 $ 时，物块通过光电门时弹簧具有的弹性势能分别为 $ E_{p1} $、$ E_{p3} $，则 $ E_{p3} - E_{p1} = $$k(l_3-l_1)l_2$(用 $ l_1 $、$ l_2 $、$ l_3 $、$ k $ 表示)。

答案： 5.
(1)$\frac{1}{t^2}=-\frac{k}{md^2}l^2+\frac{2g}{d^2}l$
(2)$\sqrt{gl_2}$ 0
(3)$k(l_3-l_1)l_2$
解析
(1)若系统机械能守恒，则有
$mgl=\frac{1}{2}kl^2+\frac{1}{2}m(\frac{d}{t})^2$，
变式为$\frac{1}{t^2}=-\frac{k}{md^2}l^2+\frac{2g}{d^2}l$，
所以若在误差允许的范围内满足$\frac{1}{t^2}=-\frac{k}{md^2}l^2+\frac{2g}{d^2}l$，即可验证轻弹簧和小物块组成的系统机械能守恒。
(2)由题图乙可知，当$l=l_2$时，遮光条通过光电门的时间最短，此时物块通过光电门时的速度最大，物块加速度大小为0，对其受力分析可得$l_2=\frac{mg}{k}$，由机械能守恒有$mgl_2=\frac{1}{2}kl_2^2+\frac{1}{2}mv_{max}^2$，联立可得$v_{max}=\sqrt{gl_2}$。
(3)由题图乙可知，当$l=l_1$和$l=l_3$时，物块的动能相等，可得$mgl_3=E_{p3}+E_k$，$mgl_1=E_{p1}+E_k$，$l_2=\frac{mg}{k}$，联立
可得$E_{p3}-E_{p1}=k(l_3-l_1)l_2$。

6. (10 分)(2022·河北卷·11)某实验小组利用铁架台、弹簧、钩码、打点计时器、刻度尺等器材验证系统机械能守恒定律，实验装置如图甲所示。弹簧的劲度系数为 $ k $，原长为 $ L_0 $，钩码的质量为 $ m $。已知弹簧的弹性势能表达式为 $ E = \frac{1}{2}kx^2 $，其中 $ k $ 为弹簧的劲度系数，$ x $ 为弹簧的形变量，当地的重力加速度大小为 $ g $。
(1)(6 分)在弹性限度内将钩码缓慢下拉至某一位置，测得此时弹簧的长度为 $ L $。接通打点计时器电源。从静止释放钩码，弹簧收缩，得到了一条点迹清晰的纸带。钩码加速上升阶段的部分纸带如图乙所示，纸带上相邻两点之间的时间间隔均为 $ T $(在误差允许范围内，认为释放钩码的同时打出 $ A $ 点)。从打出 $ A $ 点到打出 $ F $ 点时间内，弹簧的弹性势能减少量为$k(L-L_0)h_5-\frac{1}{2}kh_5^2$，钩码的动能增加量为$m\frac{(h_6-h_4)^2}{8T^2}$，钩码的重力势能增加量为$mgh_5$。

(2)(4 分)利用计算机软件对实验数据进行处理，得到弹簧弹性势能减少量、钩码的机械能增加量分别与钩码上升高度 $ h $ 的关系，如图丙所示。由图丙可知，随着 $ h $ 增加，两条曲线在纵向的间隔逐渐变大，主要原因是________。

答案： 6.
(1)$k(L-L_0)h_5-\frac{1}{2}kh_5^2$
$m\frac{(h_6-h_4)^2}{8T^2}$
$mgh_5$
(2)见解析
解析
(1)从打出$A$点到打出$F$点时间内，弹簧的弹性势能减少量为
$\Delta E_{p弹}=\frac{1}{2}k(L-L_0)^2-\frac{1}{2}k(L-L_0-h_5)^2$，整理有$\Delta E_{p弹}=k(L-L_0)h_5-\frac{1}{2}kh_5^2$，打$F$点时钩码的速度为$v_F=\frac{h_6-h_4}{2T}$，由于在误差允许的范围内，认为释放钩码的同时打出$A$点，则钩码动能的增加量为$\Delta E_k=\frac{1}{2}mv_F^2-0=m\frac{(h_6-h_4)^2}{8T^2}$，钩码的重力势能增加量为$\Delta E_{p重}=mgh_5$。
(2)钩码机械能的增加量，即钩码动能和重力势能增加量的总和，若无阻力做功，则弹簧弹性势能的减少量等于钩码机械能的增加量。现在随着$h$增加，两条曲线在纵向的间隔逐渐变大，而两条曲线在纵向的间隔即阻力做的功，则产生这个问题的主要原因是钩码和纸带运动的速度逐渐增大，导致空气阻力逐渐增大，以至于空气阻力做的功也逐渐增大。