《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

5. (18 分)(2025·河北省联考)如图所示，水平地面左侧有一光滑平台，质量为 $M = 2\ kg$、与平台等高的木板 $B$ 静止在水平地面的左端，水平地面右侧由一段半径为 $R = 2\ m$ 的圆弧面与倾角为 $\theta$ 的传送带平滑连接，圆弧面的圆心角为 $\theta$，圆弧面的左端与平台所在水平面相切，传送带以 $v = 3\ m/s$ 的速率沿顺时针方向运行。质量为 $m = 6\ kg$ 的货箱以初速度 $v_{0} = 6\ m/s$ 从平台滑上木板 $B$，木板 $B$ 与水平地面右侧碰撞后停止运动，货箱 $A$ 无碰撞地从木板 $B$ 滑上圆弧面(圆弧光滑)，然后被传送带运送到 $E$ 处。已知木板 $B$ 长度 $L_{1} = 2.875\ m$，木板 $B$ 的右端离 $C$ 点的距离 $d = 0.5\ m$，传送带 $DE$ 间的长度 $L_{2} = 13\ m$，$\theta = 37^{\circ}$，货箱与木板间的动摩擦因数 $\mu_{1} = 0.4$，木板与水平地面间的动摩擦因数 $\mu_{2} = 0.2$，货箱与传送带间的动摩擦因数 $\mu = 0.8$，货箱可视为质点，重力加速度 $g$ 取 $10\ m/s^2$，$\sin 37^{\circ} = 0.6$，$\cos 37^{\circ} = 0.8$。
(1)(9 分)求货箱在 $C$ 点刚滑上圆弧面时对圆弧面的压力；
(2)(9 分)求货箱从 $D$ 运送到 $E$ 过程所用的时间和摩擦力对传送带做的功。

答案： 5.
(1)$87\ N$，方向竖直向下
(2)$6\ s$ $-684\ J$
解析
(1)货箱A滑上木板B后做匀减速运动，对货箱受力分析并结合牛顿第二定律有$\mu_{1}mg = ma_{1}$
解得$a_{1} = 4\ m/s^{2}$
对木板B受力分析并结合牛顿第二定律有$\mu_{1}mg - \mu_{2}(m + M)g = Ma_{2}$
解得$a_{2} = 4\ m/s^{2}$
假设货箱在木板上一直做匀减速运动，且经过时间$t$木板B与C端相碰，
有$x_{2} = d = \frac{1}{2}a_{2}t^{2}$
解得$t = \frac{1}{2}\ s$
此时货箱的速度$v_{1} = v_{0} - a_{1}t = 4\ m/s$
此时木板B的速度$v_{2} = a_{2}t = 2\ m/s$，
假设成立
此过程中货箱发生的位移$x_{1} = v_{0}t - \frac{1}{2}a_{1}t^{2} = \frac{5}{2}\ m$
所以此时货箱离C点的距离$d_{1} = L_{1} - (x_{1} - x_{2}) = 0.875\ m$
货箱在木板B停止运动后继续做匀减速运动，
有$v_{C}^{2} - v_{1}^{2} = - 2a_{1}d_{1}$
解得$v_{C} = 3\ m/s$
对货箱在C点受力分析并结合牛顿第二定律$N - mg = m\frac{v_{C}^{2}}{R}$
解得$N = 87\ N$
由牛顿第三定律有$F_{压} = N = 87\ N$，方向竖直向下；
(2)货箱从C到D过程中对货箱分析
由动能定理有$-mgR(1 - \cos\theta) = \frac{1}{2}mv_{D}^{2} - \frac{1}{2}mv_{C}^{2}$
解得$v_{D} = 1\ m/s$
对货箱滑上传送带后受力分析并结合牛顿第二定律有$\mu mg\cos\theta - mg\sin\theta = ma$
解得$a = 0.4\ m/s^{2}$
设货箱经过$x_{3}$后与传送带共速，
由题意有$v^{2} - v_{D}^{2} = 2ax_{3}$
解得$x_{3} = 10\ m$
根据$v = v_{D} + at_{3}$
解得$t_{3} = 5\ s$
此后货箱相对传送带静止，
向上做匀速运动有$t_{4} = \frac{L_{2} - x_{3}}{v} = 1\ s$
所以货箱从D到E的时间$t_{CD} = t_{3} + t_{4} = 6\ s$
货箱相对传送带滑动时摩擦力对传送带做功$W_{1} = - \mu mg\cos\theta \cdot vt_{3} = - 576\ J$
货箱和传送带一起匀速运动过程中摩擦力对传送带做功$W_{2} = - mg\sin\theta \cdot (L_{2} - x_{3}) = - 108\ J$
所以摩擦力对传送带做的总功$W = W_{1} + W_{2} = - 684\ J$。