《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

* 3. (18 分) “高台滑雪”一直受到一些极限运动爱好者的青睐。挑战者以某一速度从某曲面飞出，在空中表演各种花式动作，飞跃障碍物 (壕沟) 后，成功在对面安全着陆。某实验小组在实验室中利用物块演示分析该模型的运动过程：如图所示，$ ABC $ 为一段半径为 $ R = 5 $ m 的光滑圆弧轨道，$ B $ 为圆弧轨道的最低点。$ P $ 为一倾角 $ \theta = 37° $ 的固定斜面，为减小在斜面上的滑动距离，在斜面顶端表面处铺了一层防滑薄木板 $ DE $，木板上边缘与斜面顶端 $ D $ 重合，圆形轨道末端 $ C $ 与斜面顶端 $ D $ 之间的水平距离为 $ x = 0.32 $ m。一物块以某一速度从 $ A $ 端进入，沿圆形轨道运动后从 $ C $ 端沿圆弧切线方向飞出，再经过时间 $ t = 0.2 $ s 恰好以平行于薄木板的方向从 $ D $ 端滑上薄木板，物块始终未脱离薄木板，斜面足够长。已知物块质量 $ m = 3 $ kg，薄木板质量 $ M = 1 $ kg，木板与斜面之间的动摩擦因数 $ \mu_1 = \frac{19}{24} $，木板与物块之间的动摩擦因数 $ \mu_2 = \frac{5}{6} $，重力加速度 $ g $ 取 $ 10 $ m/s²，$ \sin 37° = 0.6 $，$ \cos 37° = 0.8 $，不计空气阻力，求：

(1) (6 分) 物块滑到圆轨道最低点 $ B $ 时，对轨道的压力大小 (计算结果可以保留根号)；
(2) (6 分) 物块相对于木板运动的距离；
(3) (6 分) 整个过程中，系统由于摩擦产生的热量。

答案： 3.
(1)$(91.92 - 24\sqrt{5})$ N
(2)1.5 m
(3)87 J
解析
(1)物块由 C 到 D，做斜上抛运动
水平方向$v_{水平} = \frac{x}{t} = 1.6$ m/s
物块恰好以平行于薄木板的方向从 D
端滑上薄木板，则在 D 的速度大小$v$
$ = \frac{v_{水平}}{\cos\theta} = 2$ m/s，
$v_{竖直} = v\sin\theta = 1.2$ m/s
物块在 C 端时竖直方向速度大小
$v_{竖直}' = v_{竖直} - gt = - 0.8$ m/s，
$v_{C} = \sqrt{v_{水平}^{2} + v_{竖直}'^{2}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$ m/s
由 B 到 C 有$\frac{1}{2}mv_{B}^{2} = \frac{1}{2}mv_{C}^{2} +$
$mgR(1 - \cos\alpha)$
其中$\cos\alpha = \frac{v_{水平}}{v_{C}}$，
在 B 点有$N - mg = m\frac{v_{B}^{2}}{R}$
由牛顿第三定律得$F_{压} = N$
$ = (91.92 - 24\sqrt{5})$ N
(2)物块刚滑上木板时，对物块有
$\mu_{2}mg\cos\theta - mg\sin\theta = ma_{m}$，解得物
块加速度大小$a_{m} = \frac{2}{3}$ m/s²，做匀减
速直线运动
对木板有$\mu_{2}mg\cos\theta + Mg\sin\theta -$
$\mu_{1}(M + m)g\cos\theta = Ma_{M}$，解得木板
加速度大小$a_{M} = \frac{2}{3}$ m/s²，做匀加速直
线运动，设两者经时间$t_{1}$达到共速$v_{共}$，
则有$v - a_{m}t_{1} = a_{M}t_{1} = v_{共}$
解得$t_{1} = 1.5$ s，$v_{共} = 1$ m/s
此过程中$s_{物} = \frac{v + v_{共}}{2}t_{1} = \frac{9}{4}$ m，
$s_{板} = \frac{v_{共}}{2}t_{1} = \frac{3}{4}$ m
物块相对于木板运动的距离$\Delta s = s_{物}$
$- s_{板} = 1.5$ m
(3)由于$\mu_{2} ＞ \tan\theta$，此后两者一起做
匀减速直线运动，直到停止。以物块和木板为整体，
$a_{共} = \mu_{1}g\cos\theta - g\sin\theta = \frac{1}{3}$ m/s²，
$s_{共} = \frac{v_{共}^{2}}{2a_{共}} = 1.5$ m
$Q_{物 - 板} = \mu_{2}mg\cos\theta \cdot \Delta s = 30$ J
$Q_{板 - 斜} = \mu_{1}(M + m)g\cos\theta \cdot (s_{板} +$
$s_{共}) = 57$J
整个过程中，系统由于摩擦产生的热
量$Q = Q_{物 - 板} + Q_{板 - 斜} = 87$ J。