《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

4. (10 分)(2025·广东广州市校考)某同学设计如图所示的实验装置验证向心力公式和平抛运动水平分运动为匀速运动。将四分之一圆弧固定在水平桌面上，圆弧底下安装一个压力传感器，光电门固定在圆弧底端正上方。实验步骤如下：
①让小球静止在圆弧底端，静止时，压力传感器示数为 $ F_0 $；
②让小球从圆弧某一位置静止释放，记录通过光电门的时间 $ t $、压力传感器示数 $ F $ 和落点与圆弧底端的水平位移 $ x $；
③改变释放位置，重复②的步骤。
请回答以下问题：
(1)(2 分)为完成实验，关于实验装置及相关测量，下列说法正确的是；
A. 圆弧要保持光滑
B. 小球要选择体积小，密度大的
C. 要测量小球到地面的竖直高度
D. 要测量小球的质量
(2)(1 分)用游标卡尺测量小球直径，如图所示，则小球直径为 $ d = $ $ mm $；
(3)(4 分)以(填“$ F $”或“$ F - F_0 $”)为纵轴，$ \frac{1}{t^2} $ 为横轴作图像，若图像，则说明向心力大小与小球速度的平方成正比；
(4)(1 分)作 $ x - y $ 图像，若图像成正比，则说明平抛运动水平方向为匀速直线运动，其中 $ y $ 应该为(填“$ t $”“$ \frac{1}{t} $”或“$ \frac{1}{t^2} $”)；

(5)(2 分)甲、乙两位同学以不同的桌面高度进行实验，其他条件不变，得到如图所示甲、乙两条图线，$ y $ 与(4)中相同，其中甲同学实验时的桌面高度比乙同学的(填“高”或“低”)。

答案： 4.
(1)BD
(2)6.70
(3)$F - F_{0}$ 是一条过原点的倾斜直线
(4)$\frac{1}{t}$
(5)高
解析
(1)圆弧没必要保持光滑，从不同高度下滑，小球经过光电门的速度不同，速度根据小球直径和光电门测量的挡光时间测出，A错误；小球要选择体积小，密度大的，减小阻力的影响，B正确；没有必要测量小球到地面的竖直高度，只要保证竖直高度相同，平抛运动的时间相同，只需证明小球水平位移和水平速度成正比即可证明平抛运动的水平分运动为匀速运动，C错误；小球在圆弧最低点有$F - F_{0} = m\frac{v^{2}}{R}$，要验证向心力公式，需要测量小球的质量，D正确。
(2)小球的直径$d = 6 mm + 0.05 × 14 mm = 6.70 mm$。
(3)小球经过光电门的速度$v = \frac{d}{t}$，小球在圆弧最低点有$F - F_{0} = m\frac{v^{2}}{R}$，以$F - F_{0}$为纵轴，$\frac{1}{t^{2}}$为横轴作图像，若图像是一条过原点的倾斜直线，则说明向心力大小与小球速度的平方成正比。
(4)设圆弧最低点到地面的竖直高度为$h$，则$h = \frac{1}{2}gt_{1}^{2}$，得平抛运动时间$t_{1} = \sqrt{\frac{2h}{g}}$，水平位移$x = vt_{1} = \frac{d}{t}\sqrt{\frac{2h}{g}}$，作$x - y$图像，若图像成正比，则说明平抛运动水平方向为匀速直线运动，其中$y$应该为$\frac{1}{t}$。
(5)由$x = \frac{d}{t}\sqrt{\frac{2h}{g}}$可知，甲、乙两位同学以不同的桌面高度进行实验，得到甲、乙两条图线，则$x - \frac{1}{t}$的斜率为$d\sqrt{\frac{2h}{g}}$，甲的斜率大，故甲同学实验时的桌面高度比乙同学的高。

5. (11 分)利用如图甲所示的圆锥摆装置验证向心力表达式，步骤如下：
(1)(2 分)用天平测出密度较大的小球的质量为 $ m $，如图乙所示用 20 分度游标卡尺测出小球的直径 $ D = $1.500 $ cm $。小球静止时，用刻度尺测量此时悬挂点与小球上端之间的竖直距离为 $ L $。

(2)(3 分)在白纸上画几个不同半径的同心圆，用刻度尺测量各个圆的半径 $ r $。将白纸平铺在水平桌面上，使同心圆的圆心刚好位于静止的小球球心正下方。让小球做圆锥摆运动，俯视观察小球，其在水平面上沿着白纸上某个圆做圆周运动，当运动稳定时，用秒表测量小球运动 5 圈所用的时间 $ t $。
(3)(6 分)用向心力表达式推导出 $ F_n = $$\frac{100\pi^{2}mr}{t^{2}}$(用 $ m $、$ t $、$ r $ 和圆周率 $ \pi $ 表示)；通过受力分析，推导出小球做圆周运动时所受合力 $ F_{合} = $$\frac{mgr}{\sqrt{(L + \frac{D}{2})^{2} - r^{2}}}$(用 $ m $、$ r $、$ D $、$ L $ 和重力加速度 $ g $ 表示)。将记录的数据代入到上述两个表达式中进行计算。
(4)改变绳长，重复(2)、(3)实验步骤，记录多组数据。
(5)通过比较每一组实验数据计算出的 $ F_n $ 和 $ F_{合} $ 的大小，在误差允许的范围内近似相等。由此，向心力的表达式得以验证。

答案： 5.
(1)1.500
(2)静止的小球球心正下方
(3)$\frac{100\pi^{2}mr}{t^{2}}$ $\frac{mgr}{\sqrt{(L + \frac{D}{2})^{2} - r^{2}}}$
解析
(1)游标卡尺读数为$D = 15 mm + 0 × 0.05 mm = 15.00 mm = 1.500 cm$；
(2)将白纸平铺在水平桌面上，使同心圆的圆心刚好位于静止的小球球心正下方；
(3)根据向心力周期公式，得$F_{n} = \frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r = \frac{4\pi^{2}mr}{(\frac{t}{5})^{2}} = \frac{100\pi^{2}mr}{t^{2}}$，设小球做圆周运动时，悬线与竖直方向的夹角为$\theta$，根据受力分析可知$F_{n} = mg\tan\theta$，
又由几何关系可知$\tan\theta = \frac{r}{\sqrt{(L + \frac{D}{2})^{2} - r^{2}}}$，
联立解得$F_{n} = \frac{mgr}{\sqrt{(L + \frac{D}{2})^{2} - r^{2}}}$。