《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

5. (2024·广东省模拟)如图所示，一篮球从距地面高$H$处由静止下落，与地面作用后再竖直向上弹回，篮球每次与地面作用都会有动能损失，损失的动能为篮球每次与地面接触前动能的$10\%$。不计空气阻力，篮球从开始下落到停止的过程中运动的总路程为(C)

A.$9H$
B.$15H$
C.$19H$
D.$21H$

答案： 5.C [篮球第一次到达地面时所获得的动能为$E_{k1} = mgH$，运动的路程为$s_{1} = H$，篮球第一次与地面作用后损失的动能为$\Delta E_{k1} = 10\% E_{k1} = 0.1mgH$，反弹后上升到最高点时的高度为$H_{1} = 0.9H$
篮球第二次到达地面运动的路程为$s_{2} = H + 2H_{1} = H + 2 × 0.9H$
篮球第二次与地面作用后损失的动能为$\Delta E_{k2} = 10\% E_{k2} = 0.1mgH_{1} = 0.9mgH × 0.1$
反弹后上升到最高点时的高度为$H_{2} = 0.9H_{1} = 0.9^{2}H$
篮球第三次到达地面时运动的路程为$s_{3} = H + 2H_{1} + 2H_{2} = H + 2 × 0.9H + 2 × 0.9^{2}H$
以此类推，篮球第n次到达地面时运动的路程为$s_{n} = H + 2 × 0.9H + 2 × 0.9^{2}H + \cdots + 2 × 0.9^{n - 1}H$
根据等比数列求和公式可得$s_{总} = H + 2 × 0.9H × \frac{1 - 0.9^{n - 1}}{1 - 0.9}$
当n趋于无穷大时，有$s_{总} = 19H$，C正确。]

6. (多选)如图所示为某探究活动小组设计的节能运输系统。斜面轨道倾角$\theta = 37^{\circ}$，质量为$M$的集装箱与轨道间的动摩擦因数为$0.5$，集装箱在轨道顶端时，自动装货装置将质量为$m$的货物装入箱中，之后集装箱载着货物沿轨道无初速度滑下(货物与箱之间无相对滑动)，当轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后集装箱恰好被弹回到轨道顶端，再重复上述过程($\sin37^{\circ}=0.6$，$\cos37^{\circ}=0.8$)。下列说法正确的是(BC)

A.集装箱与弹簧没有接触时，上滑与下滑的加速度大小之比为$5:2$
B.集装箱与货物的质量之比为$1:4$
C.若集装箱与货物的质量之比为$1:1$，则集装箱不能回到轨道顶端
D.若集装箱与货物的质量之比为$1:6$，则集装箱不能回到轨道顶端

答案： 6.BC [根据牛顿第二定律，上滑时，有$Mg\sin\theta + \mu Mg\cos\theta = Ma_{1}$，下滑时，有$(M + m)g\sin\theta - \mu(M + m)g\cos\theta = (M + m)a_{2}$，所以$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{5}{1}$，故A错误；设顶端到弹簧压缩到最短位置间的距离为$x$，集装箱从顶端滑至压缩弹簧到最短，再到返回顶端，根据动能定理，有$mgx\sin\theta - \mu(M + m)g\cos\theta \cdot x - \mu Mg\cos\theta \cdot x = 0$，可得$\frac{M}{m} = \frac{1}{4}$，故B正确；若集装箱与货物的质量之比为$1:1$，则$mgx\sin\theta - \mu(M + m)g\cos\theta \cdot x - \mu mg\cos\theta \cdot x ＜ 0$，说明集装箱不能回到轨道顶端，故C正确；若集装箱与货物的质量之比为$1:6$，则$mgx\sin\theta - \mu(M + m)g\cos\theta \cdot x - \mu Mg\cos\theta \cdot x ＞ 0$，说明集装箱能回到轨道顶端，故D错误。]

7. （15分）（2025·湖北省黄岗中学月考）如图是由弧形轨道、圆轨道（轨道底端$B$略错开，图中未画出）、水平直轨道平滑连接而成的力学探究装置。水平轨道$AC$右端装有理想轻弹簧（右端固定），圆轨道与水平直轨道相交于$B$点，且$B$点位置可改变，现将$B$点置于$AC$中点，质量$m = 2kg$的滑块（可视为质点）从弧形轨道高$H = 0.5m$处静止释放。已知圆轨道半径$R = 0.1m$，水平轨道长$L_{AC}=1.0m$，滑块与$AC$间的动摩擦因数$\mu = 0.2$，弧形轨道和圆轨道均视为光滑，不计其他阻力与能量损耗，重力加速度$g$取$10m/s^{2}$。求：

（1）（4分）滑块第一次滑至圆轨道最高点时对轨道的压力大小；
（2）（3分）轻弹簧获得的最大弹性势能；
（3）（8分）若$H = 0.4m$，改变$B$点位置，使滑块在整个滑动过程中不脱离轨道，求$BC$长度满足的条件。

答案： 7.
(1)60 N
(2)6J
(3)$0.5 m \leq L \leq 1$ m
解析
(1)从出发到第一次滑至圆轨道最高点过程，由动能定理可得$mgH - \mu mg\frac{L_{AC}}{2} - mg × 2R = \frac{1}{2}mv^{2} - 0$
在圆轨道最高点，在牛顿第二定律可得$mg + N = m\frac{v^{2}}{R}$，联立解得$N = 60$ N，由牛顿第三定律可知，滑块对轨道的压力大小为60 N。
(2)弹簧第一次被压缩到最短时，弹性势能有最大值；从出发到弹簧第一次被压缩到最短过程，由动能定理可得$mgH - \mu mgL_{AC} + W_{弹} = 0 - 0$又有$W_{弹} = 0 - E_{p}$，联立解得$E_{p} = 6$ J
(3)①若滑块恰好到达圆轨道的最高点，则有$mg = m\frac{v_{0}^{2}}{R}$，从开始到圆轨道最高点，由动能定理可得$mg(H - 2R) - \mu mgs_{1} = \frac{1}{2}mv_{0}^{2} - 0$
解得$s_{1} = 0.75$ m，$L_{BC} = L_{AC} - s_{1}$，要使滑块不脱离轨道，BC之间的距离应该满足$L_{BC} \geq 0.25$ m
②若滑块刚好达到圆轨道的圆心等高处，此时的速度为零；由动能定理可得$mg(H - R) - \mu mgs_{2} = 0$
解得$s_{2} = 1.5$ m，$L_{BC}' = s_{2} - L_{AC}$
即反弹时恰好上升到圆心等高处，如果反弹距离更大，则上升的高度更小，更不会脱离轨道，所以$L_{BC}' \geq 0.5$ m，考虑到AC的总长度等于1 m，所以$L_{BC}' \leq 1$ m；结合①②两种情况，符合条件的BC长度为$0.5 m \leq L \leq 1$ m。