《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

4. (12分)(八省联考·陕西·11)图(a)为研究平抛运动的实验装置，其中装置 $ A $、$ B $ 固定在铁架台上，装置 $ B $ 装有接收器并与计算机连接。装有发射器的小球从装置 $ A $ 某高处沿着轨道向下运动，离开轨道时，装置 $ B $ 开始实时探测小球运动的位置变化。根据实验记录的数据由数表作图软件拟合出平抛运动曲线方程 $ y = 1.63x^2 + 0.13x $，如图(b)所示。

(1)(4分)安装并调节装置 $ A $ 时，必须保证轨道末端水平(填“水平”或“光滑”)。
(2)(4分)根据拟合曲线方程，可知坐标原点不在抛出点(填“在”或“不在”)。
(3)(4分)根据拟合曲线方程，可计算出平抛运动的初速度为1.7 $ m/s $(当地重力加速度 $ g $ 取 $ 9.8 $ $ m/s^2 $，计算结保留两位有效数字)。

答案： 4.
(1)水平
(2)不在
(3)1.7 解析
(1)安装并调节装置A时，必须保证轨道末端水平，以保证小球做平抛运动。
(2)根据曲线方程$y = 1.63x^2 + 0.13x$ 可知抛物线的顶点横坐标为 $x = - \frac{0.13}{2 × 1.63} m \approx -0.04 m$ 可知坐标原点不在抛出点。
(3)设在坐标原点位置小球的水平速度为$v_0$，竖直速度为$v_{0y}$， 则根据$x = v_0t$ $y = v_{0y}t + \frac{1}{2}gt^2$ 解得$y = v_{0y} \frac{x}{v_0} + \frac{1}{2}g(\frac{x}{v_0})^2$ $= \frac{g}{2v_0^2}x^2 + \frac{v_{0y}}{v_0}x$ 对比$y = 1.63x^2 + 0.13x$ 可得$\frac{g}{2v_0^2} = 1.63$ 解得$v_0 \approx 1.7 m/s$。

5. (12分)(2024·陕西西安市模拟)在探究平抛运动规律实验中，利用一管口直径略大于小球直径的直管来确定平抛小球的落点及速度方向(只有当小球速度方向沿直管方向才能飞入管中)，重力加速度为 $ g $。

(1)(6分)实验一：如图(a)所示，一倾角为 $ \theta $ 的斜面 $ AB $，$ A $ 点为斜面最低点，直管保持与斜面垂直，管口与斜面在同一平面内，平抛运动实验轨道抛出口位于 $ A $ 点正上方某处。为让小球能够落入直管，可以根据需要沿斜面移动直管。
某次平抛运动中，直管移动至 $ P $ 点时小球恰好可以落入其中，测量出 $ P $ 点至 $ A $ 点距离为 $ L $，根据以上数据可以计算出此次平抛运动在空中飞行时间 $ t = $$\sqrt{\frac{L \cos \theta}{\tan \theta}}$，初速度 $ v_0 = $$\sqrt{Lg \sin \theta}$。(用 $ L $、$ g $、$ \theta $ 表示)
(2)(6分)实验二：如图(b)所示，一半径为 $ R $ 的四分之一圆弧面 $ AB $，圆心为 $ O $，$ OA $ 竖直，直管保持沿圆弧面的半径方向，管口在圆弧面内，直管可以根据需要沿圆弧面移动。平抛运动实验轨道抛出口位于 $ OA $ 线上可以上下移动，抛出口至 $ O $ 点的距离为 $ h $。上下移动轨道，多次重复实验，记录每次实验抛出口至 $ O $ 点的距离，不断调节直管位置以及小球平抛初速度，让小球能够落入直管。为提高小球能够落入直管的成功率及实验的可操作性，可以按如下步骤进行：首先确定能够落入直管小球在圆弧面上的落点，当 $ h $ 确定时，理论上小球在圆弧面上的落点位置是确定(填“确定”或“不确定”)的，再调节小球释放位置，让小球获得合适的平抛初速度平抛至该位置即可落入直管。满足上述条件的平抛运动初速度满足 $ v_0^2 = $$\frac{R^2 - 4h^2}{2h} \frac{g}{}$(用 $ h $、$ R $、$ g $ 表示)。

答案： 5.
(1)$\sqrt{\frac{L \cos \theta}{\tan \theta}}$ $\sqrt{Lg \sin \theta}$
(2)确定 $\frac{R^2 - 4h^2}{2h} \frac{g}{}$（此处原图最后少内容） 解析
(1)由抛出到P点过程，根据平抛运动规律有$\tan \theta = \frac{v_y}{v_0} = \frac{gt}{v_0}$， $L \cos \theta = v_0t$，解得$t = \sqrt{\frac{L \cos \theta}{g \tan \theta}}$，$v_0 = \sqrt{\frac{Lg \sin \theta}{}}$（此处原图少内容）
(2)$h$一定时，设落点与O点连线与水平方向夹角为$\alpha$，根据位移规律$\tan \alpha = \frac{h + \frac{1}{2}gt^2}{v_0t}$，落点处速度方向的反向延长线过O点，则$\tan \alpha = \frac{gt}{v_0}$，联立解得$h = \frac{1}{2}gt^2$，$h$一定，则用时一定，则竖直方向下落高度一定，则落点位置是确定的。由以上分析可知，竖直方向向下落高度为$\frac{1}{2}gt^2 = h$，用时$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$，根据几何关系有$(h + h)^2 + (v_0t)^2 = R^2$，解得$v_0^2 = \frac{R^2 - 4h^2}{2h} g$。