《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

7. (2024·湖北荆州市检测)火星是近些年来发现的最适宜人类居住生活的星球，我国成功发射“天问一号”标志着我国成功地迈出了探测火星的第一步。已知火星直径约为地球直径的一半，火星质量约为地球质量的十分之一，航天器贴近地球表面飞行一周所用时间为 T，地球表面的重力加速度为 g，若未来在火星表面发射一颗人造卫星，最小发射速度约为(B)

A.$ \dfrac{gT}{2\pi} $
B.$ \dfrac{\sqrt{5}gT}{10\pi} $
C.$ \dfrac{\sqrt{5}gT}{5\pi} $
D.$ \dfrac{2\sqrt{5}gT}{5\pi} $

答案： 7.B 由$G\frac{Mm}{R^{2}} = m\frac{v^{2}}{R}$，得到星球的第一宇宙速度$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$，设地球的第一宇宙速度为$v_{1}$，由$g = \omega v_{1} = \frac{2\pi}{T}v_{1}$，得$v_{1} = \frac{gT}{2\pi}$，设火星的第一宇宙速度为$v_{2}$，则$\frac{v_{2}}{v_{1}} = \sqrt{\frac{M_{2}}{M_{1}} \cdot \frac{R_{1}}{R_{2}}}$，代入数据解得$v_{2} = \frac{\sqrt{5}}{5}v_{1} = \frac{\sqrt{5}gT}{10\pi}$，故选B。

8. (多选)(2024·湖南卷·7)2024 年 5 月 3 日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集并通过升空气将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的 $ \dfrac{1}{6} $，月球半径约为地球半径的 $ \dfrac{1}{4} $。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是(BD)

A.其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B.其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的 $ \sqrt{\dfrac{2}{3}} $ 倍
D.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的 $ \sqrt{\dfrac{3}{2}} $ 倍

答案： 8.BD 返回舱在该绕月轨道上运动时万有引力提供向心力，且返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径，则有$mg_{月} = m\frac{v_{月}^{2}}{R_{月}}$得$v_{月} = \sqrt{g_{月}R_{月}}$ ①由于地球第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度，同理可得$v_{地} = \sqrt{g_{地}R_{地}}$ ②由①②可得$v_{月} = \frac{\sqrt{6}}{12}v_{地}$故A错误，B正确；再根据线速度和周期的关系有$T = \frac{2\pi R}{v}$，$\frac{T_{月}}{T_{地}} = \frac{R_{地}}{R_{月}} \cdot \frac{v_{地}}{v_{月}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$得$T_{月} = \sqrt{\frac{3}{2}}T_{地}$，故C错误、D正确。

9. 星球上的物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度。星球的第二宇宙速度 $ v_{2} $ 与第一宇宙速度 $ v_{1} $ 的关系是 $ v_{2} = \sqrt{2}v_{1} $。已知某星球的半径为 r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度 g 的 $ \dfrac{1}{6} $。不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为(A)

A.$ \sqrt{\dfrac{gr}{3}} $
B.$ \sqrt{\dfrac{gr}{6}} $
C.$ \dfrac{gr}{3} $
D.$ \sqrt{gr} $

答案： 9.A 该星球的第一宇宙速度满足$G\frac{Mm}{r^{2}} = m\frac{v^{2}}{r}$，在该星球表面处万有引力等于重力，有$G\frac{Mm}{r^{2}} = m \cdot \frac{g}{6}$，由以上两式得该星球的第一宇宙速度$v_{1} = \sqrt{\frac{gr}{6}}$，则第二宇宙速度$v_{2} = \sqrt{2} × \sqrt{\frac{gr}{6}} = \sqrt{\frac{gr}{3}}$，故A正确。

10. (2023·浙江 1 月选考·10 改编)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，当地球恰好运动到某外地行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表所示，则相邻两次冲日的时间间隔最短的地外行星为(D)


A.火星
B.木星
C.天王星
D.海王星

答案： 10.D 设相邻两次冲日的时间间隔为$t$，根据$\frac{t}{T_{行}} - \frac{t}{T_{地}} = 1$，解得$t = \frac{T_{行}T_{地}}{T_{行} - T_{地}} = \frac{T_{地}}{1 - \frac{T_{地}}{T_{行}}}$，则行星做圆周运动的周期$T$越大，相邻两次冲日的时间间隔越短；根据开普勒第三定律$\frac{a^{3}}{T^{2}} = k$，海王星的轨道半径最大，则周期最大，故海王星相邻两次冲日的时间间隔最短。故选D。

11. (多选)(2024·福建南平市质检)水星是地球上较难观测的行星，因为它离太阳太近，总是湮没在太阳的光辉里，只有水星和太阳的距角(地球和水星连线与地球和太阳连线的夹角)达最大时(称为大距，如图所示)，公众才最有希望目睹水星。2023 年 1 月 30 日凌晨，上演这年首次水星大距。已知水星公转周期约为地球公转周期的 $ \dfrac{1}{4} $，水星和地球公转轨道均视为圆形。则下列说法正确的是(BC)


A.可以求出水星与地球质量之比
B.一年内至少可以看到 6 次水星大距
C.大距时，水星和太阳距角的正弦值约为 $ \dfrac{\sqrt[3]{4}}{4} $
D.太阳分别与水星和地球的连线在相同时间内扫过的面积相等

答案： 11.BC 由万有引力提供向心力有$G\frac{GMm}{r^{2}} = mr\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}$，可得$r^{3} = \frac{GMT^{2}}{4\pi^{2}}$，其中$M$代表太阳的质量，可知可以求出水星与地球轨道半径之比，无法求得质量之比，故A错误；设地球公转周期为$T$，则$T_{地} = T$，$T_{水} = \frac{1}{4}T$，两次东（或西）大距时间间隔为$(\frac{2\pi}{\frac{1}{4}T} - \frac{2\pi}{T})\Delta t = 2\pi$，一年内能看到水星的次数为$N = 2 × \frac{T}{\Delta t}$，解得$N = 6$，故B正确；由A项分析知水星与地球轨道半径之比为$\frac{\sqrt[3]{4}}{4}$，根据几何关系可知大距时，水星和太阳距角的正弦值约为$\frac{\sqrt[3]{4}}{4}$，故C正确；开普勒第二定律是针对同一环绕天体而言的，太阳分别与水星和地球的连线在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误。