《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

7. 从地面以大小为$v_{0}$的速度竖直向上抛出一个物体，不计空气阻力，重力加速度为g，以地面为重力势能的零势能面，下列说法正确的是(C)

A.物体的重力势能为动能的一半时，物体距离地面高度为$\frac{v_{0}^{2}}{3g}$
B.物体速率为$\frac{v_{0}}{2}$时，物体的动能和重力势能相等
C.物体的动能和重力势能相等时，物体距离地面的高度为$\frac{v_{0}^{2}}{4g}$
D.若物体的质量变为原来的2倍，其他条件不变，则物体能达到的最大高度减半

答案： 7.C [物体的重力势能为动能的一半时，设物体距离地面高度为$h$，有$\frac{1}{2} m v^{2} = 2 m g h$，根据机械能守恒定律可得$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} + m g h = 3 m g h$，解得$h = \frac{v_{0}^{2}}{6 g}$，故A错误；当物体的速率为$\frac{v_{0}}{2}$时，物体的动能为$E_{\mathrm{k}} = \frac{1}{2} m ( \frac{v_{0}}{2} )^{2} = \frac{1}{8} m v_{0}^{2}$，物体的重力势能为$E_{\mathrm{p}} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} - E_{\mathrm{k}} = \frac{3}{8} m v_{0}^{2}$，故B错误；物体的动能和重力势能相等时，设物体距离地面的高度为$h'$，有$m g h' = \frac{1}{2} m v^{2}$，根据机械能守恒定律可得$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v'^{2} + m g h' = 2 m g h'$，解得$h' = \frac{v_{0}^{2}}{4 g}$，故C正确；设物体能达到的最大高度为$H$，根据机械能守恒定律可得$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = m g H$，解得$H = \frac{v_{0}^{2}}{2 g}$，若物体的质量变为原来的2倍，其他条件不变，则物体能达到的最大高度不变，D错误。]

8. (多选)(2024·四川绵阳市检测)如图所示，半径为R的光滑半圆弧状细轨道ABC竖直固定在水平面上，下端与光滑的水平面相滑连接于C点，AC是竖直直径，圆弧上B点距离光滑水平面的高度为R，质量均为m的小球甲、乙(均视为质点)用轻质细杆连接，小球甲套在半圆弧状细轨道上的A点，小球乙放置在C点。甲、乙两小球均处于静止状态，现让小球甲受到轻微的扰动，小球甲沿半圆弧状细轨道向下运动，小球乙沿着水平面向右运动，重力加速度大小为g，则在小球甲从A点运动到B点的过程中，下列说法正确的是(BD)


A.小球甲的重力势能全部转化为小球乙的动能
B.当小球甲刚运动到B点时，小球甲和小球乙的速度大小之比为$\sqrt{3}:1$
C.当小球甲刚运动到B点时，小球乙的动能为$\frac{1}{2}mgR$
D.当小球甲刚运动到B点时，小球甲的机械能减小$\frac{1}{4}mgR$

答案： 8.BD [甲、乙组成的系统机械能守恒，甲在向下运动的过程中，甲的重力势能转化为甲和乙的总动能，故A错误；当甲刚运动到B点时，设轻质细杆与水平面的夹角为$\theta$，根据几何关系知$\sin \theta = \frac{R}{2 R} = \frac{1}{2}$，则$\theta = 30^{\circ}$，把甲、乙的速度分别沿着轻质细杆和垂直轻质细杆的方向分解，则甲、乙在沿着杆方向的分速度相等，可得$v_{甲} \sin 30^{\circ} = v_{乙} \cos 30^{\circ}$，则有$v_{甲} : v_{乙} = \sqrt{3} : 1$，故B正确；由机械能守恒定律可得$m g R = \frac{1}{2} m v_{甲}^{2} + \frac{1}{2} m v_{乙}^{2}$，解得小球乙的动能为$E_{\mathrm{k}} = \frac{1}{2} m v_{乙}^{2} = \frac{1}{4} m g R$，小球乙动能的增加量就是轻杆对小球乙做的功，也是小球甲机械能的减少量，故C错误，D正确。]

9. (16分)(2025·辽宁省名校联盟联考)如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R。在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω。绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)(4分)重物落地后，小球线速度的大小v；
(2)(5分)重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F；
(3)(7分)重物下落的高度h。

答案： 9.
(1)$2 \omega R$
(2)$\sqrt{ ( 2 \omega^{2} R )^{2} + ( m g )^{2} }$
(3)$\frac{M + 16 m}{2 M g} ( \omega R )^{2}$解析
(1)重物落地后，小球线速度大小$v = \omega r = 2 \omega R$
(2)向心力$F_{\mathrm{n}} = 2 m \omega^{2} R$设F与水平方向的夹角为$\alpha$，则$F \cos \alpha = F_{\mathrm{n}}$。$F \sin \alpha = m g$解得$F = \sqrt{ ( 2 m \omega^{2} R )^{2} + ( m g )^{2} }$
(3)落地时，重物的速度$v' = \omega R$由机械能守恒得$\frac{1}{2} M v'^{2} + 4 × \frac{1}{2} m v^{2} = M g h$解得$h = \frac{M + 16 m}{2 M g} ( \omega R )^{2}$。

10. (多选)如图所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆M、N，两杆无限接近但不接触，两杆间的距离可忽略不计。两个小球a、b(可视为质点)的质量相等，a球套在竖直杆M上，b球套在水平杆N上，a、b通过铰链用长度为L = 0.5m的刚性轻杆连接，将a球从图示位置由静止释放(轻杆与N杆的夹角为θ = 53°)，不计一切摩擦，已知重力加速度的大小g取10m/s²，sin53° = 0.8，cos53° = 0.6。在此后的运动过程中，下列说法正确的是(BC)


A.a球下落过程中，其加速度大小始终不大于g
B.a球由静止下落0.15m时，a球的速度大小为1.5m/s
C.b球的最大速度为$3\sqrt{2}$m/s
D.a球的最大速度为$2\sqrt{2}$m/s

答案： 10.BC [a球和b球所组成的系统只有重力做功，则系统机械能守恒，以b球为研究对象，b球的初速度为零，当a球运动到两杆的交点时，球在水平方向上的分速度为零，所以b球此时的速度也为零，由此可知从a球释放至a球运动到两杆的交点过程中，b球速度是先增大再减小，当b球速度减小时，轻杆对a、b都表现为拉力，对a分析，此时拉力在竖直方向上的分力与a的重力方向相同，则此时其加速度大小大于g，故A错误；由a、b机械能守恒得$m g \Delta h = \frac{1}{2} m v_{a}^{2} + \frac{1}{2} m v_{b}^{2}$，当a下落$\Delta h = 0.15 \mathrm{m}$时，由几何关系可知轻杆与N杆的夹角$\alpha = 30^{\circ}$，此时$v_{a} \sin \alpha = v_{b} \cos \alpha$，联立解得$v_{a} = 1.5 \mathrm{m/s}$，故B正确；当a球运动到两杆的交点处，b的速度为零，设此时a的速度为$v_{a0}$，由机械能守恒得$m g L \sin \theta = \frac{1}{2} m v_{a0}^{2}$，解得$v_{a0} = 2 \sqrt{2} \mathrm{m/s}$，此时a球的加速度大小为g，且方向竖直向下，与速度方向相同，a球会继续向下加速运动，速度会大于$2 \sqrt{2} \mathrm{m/s}$，故D错误。]