《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册北师大版》

1. 若直角三角形的斜边长为 $ 20 cm $，两直角边长之比为 $ 3:4 $，则这个直角三角形的周长为(D)

A.$ 27 cm $
B.$ 30 cm $
C.$ 40 cm $
D.$ 48 cm $

答案： D
【解析】：
本题主要考察勾股定理的应用以及直角三角形的周长计算。
首先，根据题目条件，直角三角形的斜边长为20 cm，两直角边长之比为3:4。
设较短的直角边长为3x cm，则较长的直角边长为4x cm。
接下来，利用勾股定理，有：
$(3x)^{2} + (4x)^{2} = 20^{2}，$
$9x^{2} + 16x^{2} = 400，$
$25x^{2} = 400，$
$x^{2} = 16，$
解得x = 4（负值舍去，因为边长不能为负）。
将x = 4代入直角边长的表达式，得到较短的直角边长为3 × 4 = 12 cm，较长的直角边长为4 × 4 = 16 cm。
最后，计算直角三角形的周长：
周长 = 12 + 16 + 20 = 48 (cm)；
根据计算结果，匹配选项，确定答案为D。
【答案】：D。

2. 如图，若一个长方体木箱的长、宽、高分别为 $ 12 dm $，$ 4 dm $，$ 3 dm $，则能放入此木箱中的木棒最长为(A)

A.$ 13 dm $
B.$ 15 dm $
C.$ 19 dm $
D.$ 24 dm $

答案： A
【解析】：本题可根据长方体的性质，结合勾股定理求出能放入此木箱中的木棒的最长长度。
能放入长方体木箱中的木棒最长时，木棒的长度等于长方体的体对角线长度。
我们可以先根据长方体底面的长和宽，利用勾股定理求出底面对角线的长度，再结合长方体的高，利用勾股定理求出体对角线的长度。
设长方体木箱的长、宽、高分别为a = 12dm，b = 4dm，c = 3dm，底面对角线长度为$l_1，$体对角线长度为l。
步骤一：求底面对角线长度$l_1。$
在长方体底面长方形中，长为a = 12dm，宽为b = 4dm，根据勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。
可得底面对角线长度$l_1=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{12^{2} + 4^{2}}=\sqrt{144 + 16}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}dm。$
步骤二：求体对角线长度l。
此时底面对角线$l_1$与长方体的高c = 3dm以及体对角线l构成一个直角三角形，其中l为斜边。
再根据勾股定理可得体对角线长度$l=\sqrt{l_1^{2}+c^{2}}=\sqrt{(4\sqrt{10})^{2}+3^{2}}=\sqrt{160 + 9}=\sqrt{169}=13dm。$
【答案】：A。

3. 如图，一张直角三角形纸片 $ ABC $ 的两直角边 $ AC = 6 cm $，$ BC = 8 cm $。若将纸片沿 $ DE $ 折叠，使点 $ B $ 与点 $ A $ 重合，则 $ CD $ 的长为(C)

A.$ \dfrac{15}{4} cm $
B.$ \dfrac{25}{4} cm $
C.$ \dfrac{7}{4} cm $
D.无法确定

答案： C
解：设CD = x cm，则BD = BC - CD = (8 - x) cm。
由折叠性质得AD = BD = (8 - x) cm。
在$Rt\triangle ACD$中，AC = 6 cm，根据勾股定理：$AC^2 + CD^2 = AD^2，$
即$6^2 + x^2 = (8 - x)^2，$
$36 + x^2 = 64 - 16x + x^2，$
16x = 64 - 36，
16x = 28，
$x = \frac{28}{16} = \frac{7}{4}。$
$\therefore CD = \frac{7}{4} cm。$
答案：C

4. 在勾股定理的学习中，我们通过图形直观地验证了这一重要定理。这种借助几何图形来推导或验证数学规律和公式的方法称为“无字证明”，它体现了数形结合的思想。下列图形中，不能验证勾股定理的是(C)

答案： C

5. 若直角三角形的斜边比一直角边长 $ 8 $，另一直角边长为 $ 12 $，则斜边长为13。

答案： 13
解：设斜边长为x，则一直角边长为x - 8。
根据勾股定理，得$x^2=(x - 8)^2 + 12^2。$
展开得$x^2=x^2 - 16x + 64 + 144。$
移项、合并同类项得16x=208。
解得x=13。
故斜边长为13。

6. 若 $ \triangle ABC $ 三条边的长度 $ a $，$ b $，$ c $ 满足 $ (a - 12)^2 + (b - 13)^2 + |c - 5| = 0 $，则 $ \triangle ABC $ 是直角三角形。

答案： 直角
解：
∵$(a - 12)^2 + (b - 13)^2 + $|c - 5| = 0，且$(a - 12)^2 \geq 0，$$(b - 13)^2 \geq 0，$|c - 5|$ \geq 0，$
∴a - 12 = 0，b - 13 = 0，c - 5 = 0，
解得a = 12，b = 13，c = 5。
∵$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2，$
即$c^2 + a^2 = b^2，$
∴△ABC是直角三角形。
直角

7. 下图是一种“羊头”形图案，其作法：从正方形 $ A $ 开始，以其一边为斜边向外作等腰直角三角形，再以该三角形的直角边为边长分别向外作正方形 $ B $ 和 $ B' $，以此类推。若正方形 $ A $ 的面积为 $ 64 cm^2 $，则正方形 $ E $ 的面积为4 $ cm^2 $。

答案： 4
解：设正方形A的边长为a，面积Sₐ = a² = 64 cm²。
以正方形A的一边为斜边向外作等腰直角三角形，设该等腰直角三角形的直角边为b。根据勾股定理：b² + b² = a²，即2b² = a²，得b² = a²/2。则正方形B和B'的面积Sᵦ = b² = 64/2 = 32 cm²。
同理，以正方形B的边为斜边作等腰直角三角形，设其直角边为c，有2c² = b²，c² = b²/2。正方形C和C'的面积Sₑ = c² = 32/2 = 16 cm²。
以此类推，正方形D和D'的面积Sd = 16/2 = 8 cm²，正方形E和E'的面积Se = 8/2 = 4 cm²。
答案：4