《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册北师大版》

1. 小明用火柴棒摆直角三角形，他摆两条直角边分别用了 6 根和 8 根火柴棒，摆完这个直角三角形共用火柴棒(C)

A.20 根
B.14 根
C.24 根
D.30 根

答案： C
解：因为直角三角形两条直角边分别用了6根和8根火柴棒，根据勾股定理，斜边的火柴棒数量为：$\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10（$根）。则摆完这个直角三角形共用火柴棒：6 + 8 + 10 = 24（根）。
C

2. 如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形。若直角三角形较长的直角边的长度为 a，较短的直角边的长度为 b，大正方形的面积为 S₁，小正方形的面积为 S₂，则(a + b)² 可以表示为(C)

A.S₁ - S₂
B.S₁ + S₂
C.2S₁ - S₂
D.S₁ + 2S₂

答案： C
解：
由题意，大正方形边长为直角三角形斜边，设为 c ，则$ S_1 = c^2 。$
小正方形边长为 a - b ，则$ S_2 = (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 。$
因直角三角形全等，$ 4 × \frac{1}{2}ab + S_2 = S_1 ，$即$ 2ab = S_1 - S_2 。$
又$ a^2 + b^2 = c^2 = S_1 ，$
则$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = S_1 + (S_1 - S_2) = 2S_1 - S_2 。$
答案：C

3. 我国古代著名的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的正方形，如图所示。如果 AE = 5，AB = 13，那么 EF² =(D)

A.49
B.12
C.13
D.98

答案： D

4. 如图，若将一根长 12 cm 的筷子置于底面直径为 6 cm、高为 8 cm 的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度 h 至少为2cm。

答案： 【解析】：
本题可先根据圆柱的底面直径和高，利用勾股定理求出筷子在杯子中的最大长度，再用筷子的总长度减去在杯子中的最大长度，即可得到筷子露在杯子外面的最小长度。
步骤一：分析筷子在杯子中的最大长度
将筷子置于圆柱形杯子中，筷子在杯子中的最大长度就是杯子内部对角线的长度。
此时杯子内部可看作一个底面直径为6cm、高为8cm的长方体（将圆柱的底面直径看作长方体的底面长，圆柱的高看作长方体的高），筷子在杯子中的最大长度就是这个长方体的对角线长度。
根据勾股定理，若直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，则$a^2 + b^2 = c^2。$
在由杯子底面直径、高和杯子内部对角线构成的直角三角形中，底面直径的一半（6÷2 = 3cm）和高8cm为两条直角边，杯子内部对角线为斜边。
设杯子内部对角线长度为l，则$l=\sqrt{6^{2}+8^{2}}。$
计算$\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10cm，$即筷子在杯子中的最大长度为10cm。
步骤二：计算筷子露在杯子外面的最小长度
已知筷子的总长度为12cm，由步骤一可知筷子在杯子中的最大长度为10cm，那么筷子露在杯子外面的最小长度h = 12 - 10 = 2cm。
【答案】：2

5. 在学习了勾股定理后，同学们了解到该定理有多种证法。某同学提出了一种利用图形拼接的验证思路：如图①，B 是正方形 ACDE 的边 CD 上的一点，连接 AB，得到直角三角形 ACB（其三条边的长度分别为 a，b，c）；将△ACB 剪下并拼接至△AEF 的位置，如图②所示。该同学通过分析图①和图②的面积关系验证了勾股定理。请你根据上述思路进行验证。

答案：

解：如图②，连接​BF​
由题意可知​△ACB≌△ AEF​
∴​AB=AF​
∴​△BAF ​是等腰直角三角形
∴$​S_{四边形ABDF}=S_{△BAF}+S_{△F BD}​$
$​=\frac 12\ \mathrm {A}B·AF+\frac 12BD·DF​$
$​=\frac 12c^2+\frac 12(b-a)(b+a)​$
$​=\frac 12c^2+\frac 12(b^2-a^2)​$
∵$​S_{四边形ACDE}=b^2，$​
$​S_{四边形ACDE}=S_{四边形ABDF}​$
∴$​b^2=\frac 12c^2+\frac 12(b^2-a^2)​$
化简，得$​a^2+b^2=c^2​$