《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册北师大版》

20. 【探究发现】
（1）如图①，在等边三角形 ABC 中，P 为三角形内一点，连接 AP，BP，CP。当 $ \angle APB - \angle ABC = 90^{\circ} $ 时，AP，BP，CP 满足 $ AP^{2} + BP^{2} = CP^{2} $。数学兴趣小组的同学们通过讨论，得到了以下思路：以 AP 为边，在 AP 的左侧作等边三角形 APQ，连接 BQ，通过验证 $ \triangle APC \cong \triangle AQB $，从而得到 $ PC = BQ $；再通过验证 $ \triangle PBQ $ 是直角三角形，得到 $ QP^{2} + BP^{2} = QB^{2} $，经等量代换即可得到 AP，BP，CP 的关系。请你根据以上思路，完成推导过程。
【类比】
（2）如图②，$ \triangle ABC $ 是等腰直角三角形，$ AB = AC $，P 为三角形内一点，连接 AP，BP，CP。当 $ \angle APB - \angle ABC = 90^{\circ} $ 时，判断 AP，BP，CP 之间的数量关系，并说明理由。
【联想拓展】
（3）如图③，在等腰三角形 ABC 中，$ AB = AC $，$ \angle BAC = 120^{\circ} $，P 为三角形内一点，连接 AP，BP，CP。当 $ \angle APB - \angle ABC = 90^{\circ} $ 时，AP，BP，CP 满足 $ (kAP)^{2} + BP^{2} = CP^{2} $，请直接写出 k 的值。

答案：

解：​$(1)$​
∵​$∆ABC$​和​$∆AQP $​是等边三角形

∴​$AB = AC，$​​$AQ = AP = PQ，$​

​$∠BAC = ∠ABC = ∠APQ = ∠Q AP = 60°$​

∴​$∠BAC - ∠BAP = ∠Q AP - ∠BAP$​

即​$∠P AC = ∠Q AB$​

∴​$∆P AC≌∆Q AB，$​
∴​$P C = Q B$​

∵​$∠AP B - ∠ABC = 90°$​

∴​$∠AP B - ∠APQ = 90°，$​即​$∠QP B = 90°$​

∴​$QP^2+BP^2=Q B^2$​

∵​$AP = QP，$​​$BQ = CP$​

∴​$AP^2+BP^2=CP^2$​

​$(2)$​如图​$②，$​以​$AP $​为边，在​$AP $​的左侧作

等腰直角三角形​$APQ，$​使得​$AP = AQ，$​连接​$BQ$​

∵​$∆ABC$​和​$∆AQP $​是等腰直角三角形

∴​$AB = AC，$​​$AQ = AP，$​​$∠BAC = ∠Q AP = 90°，$​

​$∠ABC = ∠APQ = 45°$​

∴​$∠BAC - ∠BAP = ∠Q AP - ∠BAP，$​

即​$∠P AC = ∠Q AB$​

∴​$∆P AC≌∆Q AB，$​
∴​$P C = Q B$​

∵​$∠AP B - ∠ABC = 90°$​

∴​$∠AP B - ∠APQ = 90°，$​即​$∠QP B = 90°$​

∴​$QP^2+BP^2=Q B^2$​

∵​$∆AQP $​是等腰直角三角形

∴​$AP^2+AQ^2=QP^2$​

∵​$AP = AQ，$​
∴​$QP^2=2\ \mathrm {AP}^2$​

∴​$2\ \mathrm {AP}^2+BP^2=CP^2$​

​$(3)$​辅助线如图所示，​$k=\sqrt 3$​