《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册北师大版》

1. 若关于$x$的方程$2x - b = 0$的解为$x = 1$，则直线$y = 2x - b$一定经过点(A)

A.$(1,0)$
B.$(0,1)$
C.$(2,0)$
D.$(0,2)$

答案： A
解：因为方程2x - b = 0的解为x = 1，所以将x = 1代入方程得2×1 - b = 0，解得b = 2。则直线方程为y = 2x - 2。当x = 1时，y = 2×1 - 2 = 0，所以直线y = 2x - b一定经过点(1,0)。
答案：A

2. 下列图象中，以方程$y - 2x = 2$的解为坐标的点组成的图象是(C)

]

答案： C
【解析】：本题可先将方程y - 2x = 2转化为一次函数的形式，再根据一次函数的性质确定其图象。
步骤一：将方程转化为一次函数的形式
对y - 2x = 2进行移项可得y = 2x + 2。
步骤二：分析一次函数y = 2x + 2的性质
对于一次函数y=kx+b（k，b为常数，$k\neq0），$k决定函数的斜率，b决定函数与y轴的交点。
在函数y = 2x + 2中，$k = 2\gt 0，$根据一次函数的性质，当$k\gt 0$时，函数从左到右上升，y随x的增大而增大；b = 2，表示函数与y轴的交点为(0, 2)。
步骤三：逐一分析选项
选项A：该图象从左到右下降，y随x的增大而减小，说明斜率$k\lt 0，$不符合y = 2x + 2中$k = 2\gt 0$的性质，所以选项A错误。
选项B：该图象从左到右上升，y随x的增大而增大，说明斜率$k\gt 0，$但函数与y轴的交点为(0, -2)，不符合y = 2x + 2中b = 2的性质，所以选项B错误。
选项C：该图象从左到右上升，y随x的增大而增大，说明斜率$k\gt 0，$且函数与y轴的交点为(0, 2)，符合y = 2x + 2中$k = 2\gt 0，$b = 2的性质，所以选项C正确。
选项D：该图象从左到右下降，y随x的增大而减小，说明斜率$k\lt 0，$不符合y = 2x + 2中$k = 2\gt 0$的性质，所以选项D错误。
【答案】：C

3. 若一次函数$y = ax + b$的图象经过点$A(0,1)$，$B(2,0)$，则关于$x$的方程$ax + b = 2$的解为x = - 2。

答案： x=-2
解：
∵一次函数y=ax+b的图象经过点A(0,1)，B(2,0)，
∴将A(0,1)代入y=ax+b，得b=1。
将B(2,0)，b=1代入y=ax+b，得2a+1=0，解得$a=-\frac{1}{2}。$
∴一次函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x+1。$
方程ax+b=2即$-\frac{1}{2}x+1=2，$
解得x=-2。
答案：x=-2

4. 已知关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}y = kx + b,\\y = (3k - 1)x + 2。\end{cases}$
（1）当$k$，$b$为何值时，方程组只有一个解？
（2）当$k$，$b$为何值时，方程组有无数个解？
（3）当$k$，$b$为何值时，方程组无解？

答案： 【解析】：
本题主要考查二元一次方程组与一次函数的关系，以及方程组的解的情况。
对于二元一次方程组
$\begin{cases}y = kx + b, \\y = (3k - 1)x + 2\end{cases}$
我们可以将其看作两个一次函数$y = kx + b$和$y = (3k - 1)x + 2$的交点问题。
(1) 当方程组只有一个解时，即两个一次函数图像相交于一点。这要求两个函数的斜率不相等，即$k \neq 3k - 1$。
解这个不等式得到$k \neq \frac{1}{2}$。
同时，b可以是任意实数，因为b只影响函数图像的截距，而不影响斜率。
所以，当$k \neq \frac{1}{2}$，b为任意实数时，方程组只有一个解。
但考虑到方程组有两个相同的方程时，即$kx + b = (3k-1)x + 2$化简后所有项系数相同，
这会得到$k=3k-1$且$b=2$，
但这个情况下斜率相同会得到无数个解，与“只有一个解”矛盾，
所以排除$k=\frac{1}{2}$且$b=2$的情况，
但由于$k \neq \frac{1}{2}$已经排除了$k=\frac{1}{2}$的情况，
所以只需额外注明$b$为任意实数即可。
(2) 当方程组有无数个解时，即两个一次函数图像重合。这要求两个函数的斜率相等且截距相等，即
$\begin{cases}k = 3k - 1, \\b = 2\end{cases}$
解这个方程组得到$k = \frac{1}{2}$，$b = 2$。
(3) 当方程组无解时，即两个一次函数图像平行。这要求两个函数的斜率相等但截距不相等，即
$\begin{cases}k = 3k - 1, \\b \neq 2\end{cases}$
解这个方程组（主要是第一个方程）得到$k = \frac{1}{2}$，结合第二个方程得到$b \neq 2$。
【答案】：
(1) 当$k \neq \frac{1}{2}$，b为任意实数时，方程组只有一个解；
(2) 当$k = \frac{1}{2}$，$b = 2$时，方程组有无数个解；
(3) 当$k = \frac{1}{2}$，$b \neq 2$时，方程组无解。

5. 已知一次函数$y = ax - 5$与$y = 3x + b$的图象的交点坐标为$A(1,-3)$。
(1)关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}ax - y = 5,\\3x - y = -b\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 1\\y = - 3\end{cases}$。
(2)求$a$，$b$的值。

答案：
(1) 解：因为一次函数y = ax - 5与y = 3x + b的图象交点坐标为A(1,-3)，而方程组$\begin{cases}ax - y = 5 \\ 3x - y = -b\end{cases}$的解就是这两个一次函数图象的交点坐标，所以该方程组的解为$\begin{cases}x = 1 \\ y = -3\end{cases}。$
(2) 解：因为点A(1,-3)在一次函数y = ax - 5的图象上，所以将x = 1，y = -3代入y = ax - 5，得-3 = a×1 - 5，解得a = 2。
又因为点A(1,-3)在一次函数y = 3x + b的图象上，所以将x = 1，y = -3代入y = 3x + b，得-3 = 3×1 + b，解得b = -6。
综上，a = 2，b = -6。