《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册北师大版》

1. 化简后，与$\sqrt{2}$的被开方数相同的二次根式是(B)

A.$\sqrt{12}$
B.$\sqrt{18}$
C.$\sqrt{\frac{1}{4}}$
D.$\sqrt{\frac{2}{3}}$

答案： B
解：
$A. \sqrt{12} = \sqrt{4 × 3} = 2\sqrt{3}，$被开方数为3，与$\sqrt{2}$不同；
$B. \sqrt{18} = \sqrt{9 × 2} = 3\sqrt{2}，$被开方数为2，与$\sqrt{2}$相同；
$C. \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}，$不是二次根式，被开方数不同；
$D. \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}，$被开方数为6，与$\sqrt{2}$不同。
答案：B

2. 若$\sqrt{12m}$是整数，则正整数$m$的最小值是(D)

A.$6$
B.$5$
C.$4$
D.$3$

答案： D
【解析】：
本题主要考察二次根式的性质和化简。
首先，我们将$\sqrt{12m}$进行因式分解，得到$\sqrt{12m} = \sqrt{4 × 3 × m} = 2\sqrt{3m}。$
由于题目要求$\sqrt{12m}$是整数，那么$2\sqrt{3m}$也必须是整数。这就意味着$\sqrt{3m}$必须是整数，即3m必须是一个完全平方数。
接下来，我们需要找到一个正整数m，使得3m是一个完全平方数。考虑最小的几种情况，我们发现当m=3时，3m=9，9是一个完全平方数，满足条件。而当m=1或m=2时，3m并不是完全平方数。当m=4时，虽然3m=12也不是完全平方数，但题目问的是最小值，所以我们只需找到满足条件的最小的m。
因此，正整数m的最小值是3。
【答案】：
D. 3。

3. 若$a\lt b$，则化简二次根式$\sqrt{-a^{3}b}$的结果是(A)

A.$-a\sqrt{-ab}$
B.$-a\sqrt{ab}$
C.$a\sqrt{ab}$
D.$a\sqrt{-ab}$

答案： A
解：
∵二次根式$\sqrt{-a^{3}b}$有意义，
∴$-a^{3}b \geq 0，$即$a^{3}b \leq 0。$
∵a ＜ b，
若a=0，则b＞0，此时$-a^{3}b=0，$化简结果为0，选项中无此答案，故$a \neq 0。$
若a＞0，则$b \leq 0，$与a ＜ b矛盾，故a ＜ 0。
∵a ＜ 0，a ＜ b，
∴b可正可负，但$a^{3}b \leq 0，$$a^{3} ＜ 0，$则$b \geq 0，$故$b \geq 0。$
综上，a ＜ 0，$b \geq 0。$
$\sqrt{-a^{3}b} = \sqrt{a^{2} \cdot (-ab)} = $|a|$ \sqrt{-ab} = -a\sqrt{-ab}。$
答案：A

4. 有下列二次根式：①$\sqrt{24}$；②$2\sqrt{7}$；③$\sqrt{14}$；④$\sqrt{\frac{1}{3}}$。其中是最简二次根式的有②③(填序号)。

答案： ②③
解：$①\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}，$不是最简二次根式；
$②2\sqrt{7}，$是最简二次根式；
$③\sqrt{14}，$是最简二次根式；
$④\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}，$不是最简二次根式。
故答案为：②③。

5. 如果两个最简二次根式$\sqrt{3a - 1}$与$\sqrt{2a + 3}$能合并，那么$a = $4。

答案： 4
【解析】：
题目考查二次根式的性质，即两个最简二次根式能合并的条件是被开方数相等。
根据题意，我们有：
3a - 1 = 2a + 3
移项得：
a = 4
【答案】：
a = 4

6. 计算：$5\sqrt{\frac{1}{5}}-\frac{1}{2}\sqrt{20}-\sqrt{5}(\sqrt{5}-2)$。

答案： 解：原式
$ = 5\sqrt{\frac{1}{5}} - \frac{1}{2}\sqrt{20} - \sqrt{5}(\sqrt{5} - 2)$
$ = \sqrt{5} - \sqrt{5} - (5 - 2\sqrt{5})$
$ = \sqrt{5} - \sqrt{5} - 5 + 2\sqrt{5}$
$ = 2\sqrt{5} - 5$

7. 有一道题：已知$a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$，求$2a^{2} - 8a + 1$的值。小明的解题过程如下：
因为$a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$，
所以$a - 2 = -\sqrt{3}$。
所以$(a - 2)^{2} = 3$，即$a^{2} - 4a + 4 = 3$。
所以$a^{2} - 4a = -1$。
所以$2a^{2} - 8a + 1 = 2(a^{2} - 4a) + 1 = 2×(-1) + 1 = -1$。
请你根据小明的解题过程，解答下列问题。
(1)计算：$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = $$\sqrt{2} - 1$。
(2)化简$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ·s + \frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}}$。
(3)若$a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$，求$4a^{2} - 8a + 1$的值。

答案： $(1) \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1$
(2) 原式$=(\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{100} - \sqrt{99})$
$= \sqrt{100} - 1$
= 10 - 1
= 9
(3) 解：$a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{2} + 1$
$a - 1 = \sqrt{2}$
$(a - 1)^2 = 2$
$a^2 - 2a + 1 = 2$
$a^2 - 2a = 1$
$4a^2 - 8a + 1 = 4(a^2 - 2a) + 1 = 4×1 + 1 = 5$