《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册北师大版》

1. 对于任意非零实数 $ m $，直线 $ y = mx + 2 - 5m $ 都经过一个定点，这个定点的坐标为(C)

A.$ (0,2) $
B.$ (1,2) $
C.$ (5,2) $
D.$ (2,-2) $

答案： C
解：将直线方程变形为 y = m(x - 5) + 2 。
当 x - 5 = 0 时，即 x = 5 ，此时无论 m 为何非零实数， y = 0 + 2 = 2 。
所以，该直线经过定点 (5, 2) 。
答案：C

2. 若直线 $ y = mx $ 经过第二、四象限，且正比例函数 $ y = nx $ 中，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，则一次函数 $ y = mx - n $ 的图象不经过(A)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： A
解：
∵直线y=mx经过第二、四象限，
∴m＜0。
∵正比例函数y=nx中，y随x的增大而增大，
∴n＞0。
∴一次函数y=mx-n中，m＜0，-n＜0，
∴其图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
答案：A

3. 如图，函数 $ y = -2x + 2 $ 的图象分别与 $ x $ 轴、$ y $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点。若线段 $ AB $ 绕点 $ A $ 顺时针旋转 $ 90^{\circ} $ 得到线段 $ AC $，则点 $ C $ 的坐标为(C)

A.$ (2,1) $
B.$ (1,2) $
C.$ (3,1) $
D.$ (1,3) $

答案： C
【解析】：本题可先求出A、B两点的坐标，再根据旋转的性质求出点C的坐标。
求A、B两点的坐标：
已知函数y = -2x + 2的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点。
当y = 0时，0 = -2x + 2，解方程可得：
2x = 2，即x = 1，所以A点坐标为(1,0)。
当x = 0时，y = -2× 0 + 2 = 2，所以B点坐标为(0,2)。
根据旋转性质求点C的坐标：
因为线段AB绕点A顺时针旋转$90^{\circ}$得到线段AC，所以$AB\perp AC，$AB = AC。
过点C作$CD\perp x$轴于点D。
由于$\angle BAO + \angle CAD = 90^{\circ}，$$\angle BAO + \angle ABO = 90^{\circ}，$所以$\angle ABO = \angle CAD。$
又因为$\angle AOB = \angle CDA = 90^{\circ}，$AB = AC，根据全等三角形的判定定理AAS（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABO\cong\triangle CAD。$
根据全等三角形的性质可知：AD = OB，CD = OA。
已知A(1,0)，B(0,2)，则OA = 1，OB = 2，所以AD = 2，CD = 1。
那么OD = OA + AD = 1 + 2 = 3，因为点C在第一象限，所以点C的坐标为(3,1)。
【答案】：C。

4. 若将直线 $ y = -2x + 1 $ 向下平移 $ 3 $ 个单位长度后恰好经过点 $ (a,3) $，则 $ a $ 的值为 $-\frac{5}{2}$。

答案： $- \frac{5}{2}$
【解析】：
本题主要考查直线的平移性质以及一次函数的应用。
首先，根据直线的平移性质，当直线y = -2x + 1向下平移3个单位长度后，其解析式变为y = -2x + 1 - 3 = -2x - 2。
然后，由于平移后的直线恰好经过点(a,3)，可以将这个点的坐标代入新的直线解析式，得到方程：
3 = -2a - 2，
解这个方程，可以得到a的值。
【答案】：
将点(a,3)代入y = -2x - 2，得到：
3 = -2a - 2，
移项得：
-2a = 5，
从而解得：
$a = - \frac{5}{2}，$
故答案为：$- \frac{5}{2}。$

5. 若直线 $ y = kx + b $ 与直线 $ y = -x $ 平行，且与直线 $ y = x + 10 $ 相交于点 $ (0,10) $，则直线 $ y = kx + b $ 的表达式为 ____________。

答案： y=-x+10
解：因为直线y=kx+b与直线y=-x平行，所以k=-1。
又因为直线y=kx+b与直线y=x+10相交于点(0,10)，将点(0,10)代入y=-x+b，得10=-0+b，即b=10。
所以直线y=kx+b的表达式为y=-x+10。

6. 在平面直角坐标系中，已知点 $ A(0,3) $ 和点 $ B(-2,1) $。现要在 $ x $ 轴上确定一点 $ P $，使点 $ P $ 到 $ A $，$ B $ 两点的距离之和最小，则点 $ P $ 的坐标为 $(-\frac{3}{2},0)$。

答案： $\left(-\frac{3}{2}, 0\right)$
【解析】：
本题主要考查了轴对称-最短路线问题以及待定系数法求一次函数解析式。
首先，找到点A关于x轴的对称点A'。
由于A(0,3)，
所以A'(0,-3)。
接着，利用两点式求出直线A'B的解析式。
设直线A'B的解析式为y = kx + b，
将点A'(0,-3)和点B(-2,1)代入得到方程组：
$\begin{cases}-2k + b = 1 \\b = -3\end{cases}$
解这个方程组，得到：
$\begin{cases}k = -2 \\b = -3\end{cases}$
所以，直线A'B的解析式为y = -2x - 3。
然后，找出直线A'B与x轴的交点，即y=0时的x值。
将y=0代入y = -2x - 3，
得到$x = -\frac{3}{2}。$
所以，点P的坐标为$\left(-\frac{3}{2}, 0\right)。$
【答案】：
点P的坐标为$\left(-\frac{3}{2}, 0\right)。$

7. 已知一次函数 $ y = (k - 2)x - 3k + 12 $。
（1）当 $ k $ 为何值时，该一次函数的图象与直线 $ y = -2x + 9 $ 的交点在 $ y $ 轴上？
（2）当 $ k $ 为何值时，该一次函数的图象与 $ y = -2x $ 的图象平行？
（3）当 $ k $ 为何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？

答案： 解：​
(1)​
∵直线​y=-2x+9​与​y​轴的交点
坐标为​(0，​​9)​
∴​-3k+12=9，​解得​k=1​
​
(2)​
∵一次函数的图象与​y=-2x​的图象平行
∴​k-2=-2，​且​-3k+12≠0​
∴​k=0​
​
(3)​
∵​y​随​x​的增大而减小
∴​k-2＜0，​
∴​k＜2​

8. 某商场为庆祝开业推出两种购物方案。方案一：非会员购物，所有商品价格可获九五折优惠；方案二：若交纳 $ 300 $ 元会费成为该商场会员，则所有商品价格可获九折优惠。
（1）用 $ x $（单位：元）表示商品价格，$ y $（单位：元）表示支出金额，分别写出两种购物方案中 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式。
（2）某顾客计划在该商场购买一台价格为 $ 5880 $ 元的电视机，选择哪种方案更省钱？

答案： 解：​
(1)​方案一：​y=0.95x​
方案二：​y=0.9x+300​
​
(2)​当​x=5880​时
方案一：​y=0.95x=0.95×5880=5586​
方案二：​y=0.9x+300​
​=0.9×5880+300=5592​
∵​5586＜5592​
∴选择方案一更省钱