《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册北师大版》

1. 若△ABC 的三边满足 $ BC^{2}=AB^{2}+AC^{2} $，则(B)

A.∠C 是直角
B.∠A 是直角
C.∠B 是直角
D.不能确定

答案： B
【解析】：
本题主要考察勾股定理的逆定理，即如果三角形三边满足一边的平方等于其他两边的平方和，则这个三角形是直角三角形，且直角位于这条边的对角。
对于$\triangle ABC，$已知$BC^2 = AB^2 + AC^2，$
根据勾股定理的逆定理，我们可以知道$\angle A$是直角，因为BC是斜边，而AB和AC是两条直角边，对应的角$\angle A$必然是直角。
【答案】：
$B. \angle A$是直角。

2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(C)

A.2，3，4
B.4，6，8
C.6，8，10
D.5，11，12

答案： C
【解析】：
本题考察的是勾股定理的逆定理，即如果三角形三边满足勾股定理，即最长边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形就是直角三角形。
我们需要分别验证每个选项中的三条边是否满足勾股定理。
对于选项A：$2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13，$而$4^2 = 16，$显然$13 \neq 16，$所以A不能组成直角三角形。
对于选项B：$4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52，$而$8^2 = 64，$显然$52 \neq 64，$所以B不能组成直角三角形。
对于选项C：$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100，$且$10^2 = 100，$因为100 = 100，所以C能组成直角三角形。
对于选项D：$5^2 + 11^2 = 25 + 121 = 146，$而$12^2 = 144，$显然$146 \neq 144，$所以D不能组成直角三角形。
综上所述，只有选项C的三条边满足勾股定理，能组成直角三角形。
【答案】：
C

3. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是(B)

A.三条边的长度之比为 $ 3:4:5 $
B.三个内角的度数之比为 $ 3:4:5 $
C.三个内角的度数之比为 $ 1:2:3 $
D.三条边长的平方之比为 $ 1:2:3 $

答案： B
【解析】：
本题主要考察直角三角形的判定条件，包括边长的比例关系和内角的度数关系。
A选项：三条边的长度之比为3∶4∶5，根据勾股定理，$3^2 + 4^2 = 5^2，$满足直角三角形的条件，所以A选项描述的是直角三角形。
B选项：三个内角的度数之比为3∶4∶5，设较小的角度为3x，则其他两个角分别为4x和5x。由三角形内角和为180°，得3x + 4x + 5x = 180°，解得x = 15°。所以三个角分别为45°，60°，75°，没有90°的角，所以B选项描述的不是直角三角形。
C选项：三个内角的度数之比为1∶2∶3，设较小的角度为x，则其他两个角分别为2x和3x。由三角形内角和为180°，得x + 2x + 3x = 180°，解得x = 30°。所以三个角分别为30°，60°，90°，有90°的角，所以C选项描述的是直角三角形。
D选项：三条边长的平方之比为1∶2∶3，设三边分别为a，b，c，且$a^2:b^2:c^2 = 1:2:3。$由勾股定理，若$a^2 + b^2 = c^2，$则三角形为直角三角形。在此情况下，1 + 2 = 3，满足条件，所以D选项描述的是直角三角形。
综上，不是直角三角形的选项是B。
【答案】：
B

4. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 $ AB = 20 $，$ BC = 15 $，$ CD = 7 $，$ DA = 24 $，且 $ ∠B = 90^{\circ} $。有下列结论：① $ ∠D = 90^{\circ} $；② $ ∠A + ∠C = 180^{\circ} $；③ $ ∠C = 120^{\circ} $；④ $ S_{四边形ABCD} = 204 $。其中正确结论的序号是(B)

A.②
B.①②
C.①④
D.①③④

答案： B
【解析】：本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理。
连接 AC，在$\bigtriangleup ABC$中，
$\because\angle B=90\degree，$AB=20 ，BC=15，
$\therefore AC^2=AB^2+BC^2=20^2+15^2=625。$
$\therefore AC=25。$
在$\bigtriangleup ADC$中，CD=7 ，AD=24，
$\because CD^2+AD^2=7^2+24^2=625=AC^2，$
$\therefore\bigtriangleup ADC$是直角三角形，
$\therefore\angle D=90\degree，$故①正确。
$\because\angle D+\angle BAD=180\degree，$$\angle B+\angle BCD=180\degree，$
四边形内角和为$360\degree，$
$\therefore\angle A+\angle C=180\degree，$故②正确。
$\because\angle D=90\degree，$
$\therefore\angle C＜ 120\degree，$故③错误。
$S_{四边形ABCD}=S_{\bigtriangleup ABC}+S_{\bigtriangleup ADC}$
$= \frac{1}{2}AB\cdot BC + \frac{1}{2}AD\cdot DC$
$= \frac{1}{2}×20×15 + \frac{1}{2}×24×7$
= 234，故④错误。
正确的结论有①②。
【答案】：B

5. 甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度均为 $ 40m/min $，甲客轮用 $ 15min $ 到达 A 地，乙客轮用 $ 20min $ 到达 B 地。若 A，B 两地的直线距离为 $ 1000m $，甲客轮沿着北偏东 $ 60^{\circ} $ 的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是(D)

A.北偏西 $ 60^{\circ} $
B.南偏西 $ 60^{\circ} $
C.南偏西 $ 30^{\circ} $
D.南偏东 $ 30^{\circ} $

答案： 【解析】：
题目考查了直角三角形中的勾股定理的应用和方位的判断。
首先，根据甲客轮的速度和时间计算其航行的距离：
甲客轮航行的距离$ d_1 = 40× 15 = 600 m ，$
乙客轮航行的距离$ d_2 = 40× 20 = 800 m ，$
由于 A,B两地的直线距离为1000 m，我们可以验证这三边是否满足勾股定理：
$600^2 + 800^2 = 360000 + 640000 = 1000000，$
$1000^2 = 1000000，$
因为$ 600^2 + 800^2 = 1000^2，$所以这三边构成一个直角三角形。
已知甲客轮沿着北偏东$60\degree$的方向航行，即与正北方向的夹角是$60\degree，$那么乙客轮与正北方向的夹角，和甲客轮与正北方向的夹角互余，即为$30\degree，$且甲乙分别在正北方向的两侧，所以乙客轮沿着南偏东$30\degree$的方向航行。
【答案】：
D. 南偏东$30\degree。$

6. 若三角形三条边的长度 $ a $，$ b $，$ c $ 满足 $ |c^{2}-a^{2}-b^{2}|+(a - b)^{2} = 0 $，则该三角形的形状是等腰直角三角形。

答案： 等腰直角三角形
解：因为|c² - a² - b²| + (a - b)² = 0，且|c² - a² - b²|≥0，(a - b)²≥0，所以c² - a² - b²=0且a - b=0，即c²=a² + b²且a=b，故该三角形是等腰直角三角形。
答案：等腰直角三角形

7. 若一个三角形的三条边的长度之比是 $ 5:12:13 $，且周长是 $ 60 $，则它的面积是120。

答案： 120
【解析】：
首先，根据题目给出的三角形的三条边的长度之比是5:12:13，且周长是60，我们可以设三角形的三边长度分别为5x，12x，13x。
根据三角形的周长公式，我们有：
5x + 12x + 13x = 60
解这个方程，我们得到：
30x = 60
x = 2
将x = 2代入三边的长度，我们得到三角形的实际边长为：
5 × 2 = 10
12 × 2 = 24
13 × 2 = 26
接下来，我们需要判断这个三角形是否为直角三角形。根据勾股定理的逆定理，如果三角形三边满足$a^2 + b^2 = c^2，$则该三角形为直角三角形。
$10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$
$26^2 = 676$
由于$10^2 + 24^2 = 26^2，$所以该三角形是直角三角形。
最后，根据直角三角形的面积公式$S = \frac{1}{2}ab，$我们可以求出三角形的面积：
$S = \frac{1}{2} × 10 × 24 = 120$
【答案】：
120

8. 有下列六组数：① $ 6 $，$ 8 $，$ 10 $；② $ 13 $，$ 5 $，$ 12 $；③ $ 1 $，$ 2 $，$ 3 $；④ $ 9 $，$ 40 $，$ 41 $；⑤ $ 0.3 $，$ 0.4 $，$ 0.5 $；⑥ $ \frac{1}{3} $，$ \frac{1}{4} $，$ \frac{1}{5} $。其中是勾股数的有①②④(填序号)。

答案： ①②④
解：$①6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2，$且6,8,10是正整数，是勾股数；
$②5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2，$且5,12,13是正整数，是勾股数；
$③1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 \neq 3^2，$不是勾股数；
$④9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681 = 41^2，$且9,40,41是正整数，是勾股数；
⑤0.3,0.4,0.5不是正整数，不是勾股数；
$⑥\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$不是正整数，不是勾股数。
答案：①②④

9. 如图，在△ABC 中，$ AB = AC $，$ BC = 15 $，D 是边 AB 上的一点，$ BD = 9 $，$ CD = 12 $。
(1) 请说明：$ CD⊥AB $。
(2) 求 AC 的长。

答案： 解：​
(1)​
∵$​9^2+12^2=15^2​$
即$​BD^2+CD^2=BC^2​$
∴​△BCD​为直角三角形，​∠BDC=90°​
∴​CD⊥AB​
​
(2)​设​AC=x，​则​AB=AC=x​
∵​CD⊥AB​
∴$​AC^2=AD^2+CD^2​$
∴$​x^2=(x-9)^2+12^2​$
解得$​x=\frac {25}2，$​即$​AC=\frac {25}2​$