《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册北师大版》

1. 下列式子一定是二次根式的是(A)

A.$\sqrt{x^{2}+1}$
B.$\sqrt{-x - 2}$
C.$\sqrt{x}$
D.$\sqrt{x^{2}-2}$

答案： A
解：二次根式的定义：形如$\sqrt{a}(a\geq0)$的式子叫做二次根式。
A选项：$x^2\geq0，$则$x^2 + 1\geq1＞0，$所以$\sqrt{x^2 + 1}$一定是二次根式。
B选项：当-x - 2 ＜ 0，即x ＞ -2时，$\sqrt{-x - 2}$无意义，不是二次根式。
C选项：当x ＜ 0时，$\sqrt{x}$无意义，不是二次根式。
D选项：当$x^2 - 2 ＜ 0，$即$-\sqrt{2} ＜ x ＜ \sqrt{2}$时，$\sqrt{x^2 - 2}$无意义，不是二次根式。
结论：一定是二次根式的是A选项。
答案：A

2. 下列等式不成立的是(C)

A.$\sqrt{3}×\sqrt{5}=\sqrt{3×5}$
B.$\sqrt[3]{-8}×\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\sqrt[3]{(-8)×\frac{1}{8}}$
C.$\sqrt{-5×(-\frac{1}{5})}=\sqrt{-5}×\sqrt{-\frac{1}{5}}$
D.$\frac{\sqrt{a^{2}}}{\sqrt{b^{2}}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}}}(b\neq0)$

答案： C
【解析】：
本题主要考察二次根式的乘法法则以及立方根的运算。
A选项：根据二次根式的乘法法则，$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{a × b}（$其中$a \geq 0，$$b \geq 0），$所以$\sqrt{3} × \sqrt{5} = \sqrt{3 × 5}$成立。
B选项：根据立方根的运算性质，$\sqrt[3]{a} × \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a × b}，$所以$\sqrt[3]{-8} × \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \sqrt[3]{(-8) × \frac{1}{8}}$成立。
C选项：根据二次根式的乘法法则，被开方数必须是非负数。而$\sqrt{-5}$和$\sqrt{-\frac{1}{5}}$中的被开方数是负数，这是没有意义的。因此，$\sqrt{-5 × \left(-\frac{1}{5}\right)} = \sqrt{1} = 1，$但$\sqrt{-5} × \sqrt{-\frac{1}{5}}$是没有意义的，所以C选项不成立。
D选项：根据二次根式的除法法则，$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}（$其中$a \geq 0，$b ＞ 0），所以$\frac{\sqrt{a^{2}}}{\sqrt{b^{2}}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}}}（$其中$b \neq 0）$成立。
综上所述，C选项不成立。
【答案】：
C

3. 如果$\sqrt{(x - 2)^{2}} = 2 - x$，那么$x$的取值范围是(A)

A.$x\leq2$
B.$x\lt2$
C.$x\geq2$
D.$x\gt2$

答案： A
【解析】：
本题主要考察二次根式的性质以及代数式的取值范围。
首先，根据二次根式的性质，我们有$\sqrt{a^2} = $|a|。
所以，原式$\sqrt{(x-2)^{2}}$可以化简为|x-2|。
题目给出$\sqrt{(x-2)^{2}} = 2 - x，$即|x-2| = 2 - x。
由于绝对值函数的性质，当|a| = -a时，必有$a \leq 0。$
因此，我们有$x-2 \leq 0，$即$x \leq 2。$
【答案】：
A

4. 化简：$\sqrt{18}×\sqrt{\frac{1}{2}} = $3。

答案： 3
解：$\sqrt{18} × \sqrt{\frac{1}{2}}$
$=\sqrt{18×\frac{1}{2}}$
$=\sqrt{9}$
=3

5. 计算：$\sqrt{\frac{1}{2}}÷\sqrt{\frac{1}{8}} = $2。

答案： 2
解：$\sqrt{\frac{1}{2}} ÷ \sqrt{\frac{1}{8}}$
$=\sqrt{\frac{1}{2}÷\frac{1}{8}}$
$=\sqrt{\frac{1}{2}×8}$
$=\sqrt{4}$
=2

6. 式子$\frac{\sqrt{x - 2}}{3}$有意义的条件是x ≥ 2。

答案： $x \geq 2$
【解析】：
本题主要考察二次根式有意义的条件，即被开方数需要大于等于0。
同时，由于分母3是一个常数且不为0，所以不需要考虑分母为0的情况。
因此，我们只需要解不等式$x - 2 \geq 0$即可。
【答案】：
解：
由于二次根式$\frac{\sqrt{x-2}}{3}$要有意义，需要满足：
$x - 2 \geq 0$
解这个不等式，我们得到：
$x \geq 2$
故答案为：$x \geq 2。$

7. 计算。
（1）$\sqrt{12}×\sqrt{54}$；
（2）$2\sqrt{5}×3\sqrt{10}$；
（3）$2\sqrt{8}÷4\sqrt{2}$；
（4）$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}}$。

答案： $​=2\sqrt 3×3\sqrt 6​$
$​= 18\sqrt {2}​$
$​=6\sqrt {50}​$
$​= 30\sqrt {2}​$
$​=4\sqrt 2÷4\sqrt 2​$
​= 1​
$​=\frac {2\sqrt {6}}{\sqrt 6}​$
​= 2​

8. 对于实数$a$，$b$，定义一种新运算“$\#$”：$a\#b = ab - a - 1$。
（1）求$(-2)\#3$的值。
（2）通过计算比较$3\#(-2)$与$(-2)\#3$的大小。
（3）若$x\#(-4) = 9$，求$x$的值。

答案： 解：​
(1)(-2)#3=(-2)×3-(-2)-1​
​=-6+2-1=-5​
​
(2)3#(-2)=3×(-2)-3-1​
​=-6-3-1=-10​
由​
(1)​知​(-2)#3=-5​
∴​3#(-2)＜(-2)#3​
​
(3)​
∵​x#(-4)=9​
∴​-4x-x-1=9​
解得​x=-2​
【解析】：
本题主要考查了新定义运算，代入求值，以及利用新定义解方程。
(1) 根据新定义的运算规则，我们可以将(-2)\3转化为标准的数学运算：
(-2)\3 = (-2) × 3 - (-2) - 1 = -6 + 2 - 1 = -5
(2) 要比较3-2)与(-2)\3的大小，我们需要分别求出两者的值：
3-2) = 3 × (-2) - 3 - 1 = -6 - 3 - 1 = -10由
(1)得出(-2)\3 = -5，所以，3-2) ＜ (-2)\3。
(3) 对于方程x-4) = 9，我们可以根据新定义的运算规则，将其转化为标准的数学方程：x× (-4) - x - 1 = 9-4x - x - 1 = 9-5x = 10x = -2【答案】：
(1) (-2)\3 = -5
(2) 3-2) ＜ (-2)\3
(3) x = -2