《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册北师大版》

1. 如图，一棵垂直于地面的大树在台风中被折断。已知树干在离地面 $3m$ 处折断，折断后树顶端落在距离树根 $4m$ 处，则大树原来的高度为(B)

A.$5m$
B.$8m$
C.$9m$
D.$25m$

答案： $B$　　
解：设树干折断处离地面部分为$ a = 3 \, m ，$树根到顶端落地点的距离为$ b = 4 \, m ，$折断部分长度为$ c 。$　　
由勾股定理得：$ c^2 = a^2 + b^2 $　　
$ c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 $　　
$ c = 5 \, m （$负值舍去$）$　　
大树原来的高度为$ a + c = 3 + 5 = 8 \, m $　　
答案：$B$　　

2. 有一道古代数学题，大意是：有一个水池，水面 $BE$ 的宽为 $16$ 尺$(1 尺 = \frac{1}{3} m)$，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面 $2$ 尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，如图所示。这根芦苇的长度是(C)

A.$26$ 尺
B.$24$ 尺
C.$17$ 尺
D.$15$ 尺

答案： C
【解析】：本题可根据勾股定理建立方程来求解芦苇的长度。
设芦苇的长度为x尺，因为芦苇高出水面2尺，所以水深为(x - 2)尺。
已知水池水面BE的宽为16尺，那么水池一半的长度，即$BC=\frac{1}{2}×16 = 8$尺。
在由芦苇、水深和水池一半宽度构成的直角三角形中，根据勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
其中芦苇的长度为斜边，水深和水池一半宽度为两条直角边，可列出方程：$8^{2}+(x - 2)^{2}=x^{2}。$
接下来求解这个方程：
$64+x^{2}-4x + 4=x^{2}（$根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开$(x - 2)^{2}）$
$x^{2}-x^{2}-4x=-64 - 4（$移项，将含有x的项移到等号左边，常数项移到等号右边）
-4x=-68
x = 17
【答案】：C

3. 如图，圆柱的底面周长是 $24$，高是 $5$。在圆柱下底面的点 $A$ 处有一只蚂蚁，如果它想吃到点 $B$ 处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是(B)

A.$9$
B.$13$
C.$14$
D.$25$

答案： B
【解析】：
本题主要考查了勾股定理的应用以及圆柱的侧面展开图的性质。
首先，将圆柱的侧面展开，得到一个长方形。
在这个长方形中，点A和点B分别位于长方形的两侧，且它们之间的水平距离是底面周长的一半，即$\frac{24}{2}=12，$垂直距离是圆柱的高，即5。
接下来，利用勾股定理来计算点A到点B的最短距离。
根据勾股定理，直角三角形的斜边c满足：$c=\sqrt{a^2+b^2}，$其中a和b是直角三角形的两条直角边。
将a=12，b=5代入公式，得到：
$c=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13。$
【答案】：B。

4. 如图，将一根长为 $8cm$ 的橡皮筋两端 $A$ 和 $B$ 固定在同一水平面上，然后把橡皮筋的中点 $C$ 垂直向上拉升 $3cm$ 到点 $D$ 的位置。橡皮筋被拉长了2 $cm$。

答案： 2
【解析】：
本题可根据勾股定理分别求出拉伸前后橡皮筋一半的长度，进而求出拉伸前后橡皮筋的长度，最后计算出橡皮筋被拉长的长度。
已知橡皮筋原长为8cm，因为C为AB中点，所以$AC = \frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8 = 4cm。$
在直角三角形ACD中，AC = 4cm，CD = 3cm，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2（$其中a、b为直角边，c为斜边），可得$AD=\sqrt{AC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16 + 9}=\sqrt{25}=5cm。$
因为AD = BD，所以拉伸后橡皮筋的长度为2AD = 2×5 = 10cm。
用拉伸后橡皮筋的长度减去原长，可得拉长的长度为10 - 8 = 2cm。
【答案】：
解：$AC = \frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8 = 4cm$
在$Rt\triangle ACD$中，$AD=\sqrt{AC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{25}=5cm$
拉伸后橡皮筋的长度为2AD = 2×5 = 10cm
拉长的长度为10 - 8 = 2cm
故答案为：2。

5. 木工制作一个长方形桌面，测得桌面的长为 $60cm$，宽为 $32cm$，对角线长为 $68cm$。这个桌面合格(填“合格”或“不合格”)。

答案： 合格
【解析】：
本题考察的是勾股定理的应用。在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。对于长方形桌面，其对角线、长和宽应满足勾股定理。
设桌面的长为a，宽为b，对角线为c，则应满足$a^2 + b^2 = c^2。$
将题目中给出的数据代入公式，即$60^2 + 32^2 $是否等于$ 68^2，$进行计算以验证桌面是否合格。
【答案】：
计算得：
$60^2 + 32^2 = 3600 + 1024 = 4624$
$68^2 = 4624$
由于$ 60^2 + 32^2 = 68^2，$根据勾股定理的逆定理，这个桌面的角度是直角，因此，这个桌面合格。
故答案为：合格。

6. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AC = 8$，$BC = 6$，$CE$ 是 $AB$ 边上的中线，$CD$ 是 $AB$ 边上的高，且 $AE = 5$，求 $CD$ 的长。

答案： 解：
∵​CE ​是​ AB ​边上的中线
∴​AE=BE=5​
∴​AB=10​
又
∵​AC=8，​​BC=6​
∴$​AC^2+BC^2=8^2+6^2=100=AB^2​$
∴​△ABC ​是直角三角形
又
∵​CD ​是​△ ABC ​的高
∴$​S_{△ABC}=\frac 12\ \mathrm {A}C·BC=\frac 12\ \mathrm {A}B·CD​$
∴$​CD=\frac {AC·BC}{AB}=\frac {8×6}{10}=4.8​$