《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册北师大版》

19. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $ l_{1} $ 的函数表达式为 $ y = x $，直线 $ l_{2} $ 的函数表达式为 $ y = kx - 5k(k \lt 0) $，直线 $ l_{2} $ 与两坐标轴的交点分别是点 A 和点 B，点 C 是直线 $ l_{2} $ 与直线 $ l_{1} $ 的交点。
（1）若点 C 的坐标为 $ (1,1) $，求 $ \triangle BCO $ 的面积。
（2）若 $ S_{\triangle BOC} = \frac{3}{5}S_{\triangle AOC} $，求直线 $ l_{2} $ 的表达式。

答案：

【解析】：本题主要考查了一次函数的性质、直线与坐标轴的交点坐标求解、三角形面积的计算以及方程的求解等知识点。
（1）已知点C(1,1)在直线$l_2:y = kx - 5k$上，将点C的坐标代入直线$l_2$的方程，可得1 = k×1 - 5k，通过解这个方程求出k的值，进而得到直线$l_2$与y轴交点B的坐标，然后根据三角形面积公式求出$\triangle BCO$的面积。
（2）先求出直线$l_2$与x轴交点A的坐标，再分别表示出$S_{\triangle BOC}$和$S_{\triangle AOC}，$根据$S_{\triangle BOC}=\frac{3}{5}S_{\triangle AOC}$列出关于k的方程，最后求解方程得到k的值，从而确定直线$l_2$的表达式。
【答案】：
(1)因为点C(1,1)在直线$l_2:y = kx - 5k$上，
所以将C(1,1)代入y = kx - 5k，
可得1 = k - 5k，
即1 = -4k，
解得$k = -\frac{1}{4}。$
所以直线$l_2$的表达式为$y = -\frac{1}{4}x + \frac{5}{4}。$
令x = 0，可得$y = \frac{5}{4}，$
所以点B的坐标为$(0,\frac{5}{4})。$
那么$OB = \frac{5}{4}，$
点C横坐标为1，即$\triangle BCO$中OB边上的高为1。
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}×$底×高，
可得$S_{\triangle BCO} = \frac{1}{2}× OB×1 = \frac{1}{2}×\frac{5}{4}×1 = \frac{5}{8}。$
(2)对于直线$l_2:y = kx - 5k，$
令y = 0，则kx - 5k = 0，
因为$k\lt0，$
所以x = 5，
即点A的坐标为(5,0)，
那么OA = 5。
令x = 0，可得y = -5k，
所以点B的坐标为(0,-5k)，
则OB = -5k（因为$k\lt0，$所以$-5k\gt0）。$
$S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}× OB× x_C（x_C$为点C的横坐标），
因为点C是直线$l_1:y = x$与直线$l_2:y = kx - 5k$的交点，
联立$\begin{cases}y = x,\\y = kx - 5k.\end{cases}$
可得x = kx - 5k，
即x - kx = -5k，
(1 - k)x = -5k，
解得$x = \frac{5k}{k - 1}，$
所以$S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}×(-5k)×\frac{5k}{k - 1}。$
$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}× OA× y_C（y_C$为点C的纵坐标，且$y_C = x_C = \frac{5k}{k - 1}），$
所以$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}×5×\frac{5k}{k - 1}。$
因为$S_{\triangle BOC}=\frac{3}{5}S_{\triangle AOC}，$
所以$\frac{1}{2}×(-5k)×\frac{5k}{k - 1}=\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×5×\frac{5k}{k - 1}，$
因为$k\lt0，$
所以$k\neq0$且$k - 1\neq0，$
方程两边同时除以$\frac{1}{2}×\frac{5}{k - 1}，$
可得$-5k = \frac{3}{5}×5，$
即-5k = 3，
解得$k = -\frac{3}{5}。$
所以直线$l_2$的表达式为$y = -\frac{3}{5}x - 5×(-\frac{3}{5})，$
即$y = -\frac{3}{5}x + 3。$