《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册北师大版》

20. 下面表格中的两组对应值满足一次函数$y = kx + b$，现画出了它的图象为直线$l$，如图所示。琪琪为观察$k$，$b$对图象的影响，将上面函数中的$k$与$b$交换位置后得到另一个一次函数，设其图象为直线$l'$。
(1) 求直线$l$的表达式。
(2) 求直线$l'$的表达式，并在图中画出直线$l'$。
(3) 若$P(a,0)$是$x$轴上的一个动点，过点$P$作$y$轴的平行线，分别交直线$l$，$l'$于点$M$，$N$。当$MN = 4$时，求出$a$的值。
(4) 若$Q(0,m)$是$y$轴上的一个动点，过点$Q$作$x$轴的平行线，分别与直线$l$，$l'$及$y$轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出$m$的值。

答案：

解：​$(1)$​
∵直线​$ l∶y=kx+b $​中

当​$ x=0 $​时，​$y=1；$​当​$ x=2 $​时，​$y=7$​

∴​$\begin {cases}{b=1}\\{2k+b=7}\end {cases}，$​​$ $​解得​$\begin {cases}{k=3}\\{b=1}\end {cases}$​

∴直线​$ l $​的表达式为​$ y=3x+1$​

​$(2)$​依题意，得直线​$ l' $​的表达式为​$ y=x+3$​

画出直线​$ l' $​如图所示

​$(3)$​把​$ x=a $​代入​$ y=3x+1，$​得​$ y=3a+1$​

把​$ x=a $​代入​$ y=x+3，$​得​$ y=a+3$​

∵​$MN=4$​

∴​$|3a+1-a-3|=4$​

解得​$ a=3 $​或​$ a=-1$​

​$(4)m $​的值为​$ \frac 52 $​或​$ 7 $​或​$ \frac {17}5$​