《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册北师大版》

7. 科学研究发现，空气中的含氧量$y$（单位：$\%$）与海拔$x$（单位：$m$）之间近似地满足一次函数关系。经测量，海拔为$0\ m$时，空气中的含氧量为$21\%$。已知某山山脚某处海拔为$2400\ m$，测得空气中的含氧量约为$17\%$。
（1）求空气中的含氧量$y$与海拔$x$之间的关系式。
（2）当空气中的含氧量低于$14\%$时，登山运动员需要佩戴氧气瓶补充氧气。已知该山能到达的最高点海拔为$4680\ m$，试判断登山运动员是否需要提前准备氧气瓶，并说明理由。

答案： 解：​
(1)​设​y=kx+b(k≠0)​
依题意得$​\begin {cases}{2400k+b=17}\\{b=21}\end {cases}，$​解得$​\begin {cases}{k=-\frac 1{600}}\\{b=21}\end {cases}​$
∴​y​与​x​之间的关系式为$​y=-\frac 1{600}x+21​$
​
(2)​需要，理由如下：
当空气中的含氧量为​14\%​时，
$​-\frac 1{600}x+21=14​$
解得​x=4200​
∵​4200<4680​
∴登山运动员需要提前准备氧气瓶

8. 如图，直线$y = kx + b$（$k\neq 0$）与坐标轴分别交于$A$，$B$两点，$OA = 8$，$OB = 6$，点$M(3,m)$在直线上。动点$P$从点$A$出发，以每秒$1$个单位长度的速度沿路线$A\to O\to B$运动，到达点$B$时运动停止。设点$P$的运动时间为$t\ s$。
（1）求点$M$的坐标。
（2）用含$t$的代数式表示$OP$的长度。
（3）当$t = 3$时，求$\triangle OPM$的面积。
（4）当$\triangle OPM$的面积为$6$时，求$t$的值。

答案：

解：​$(1)$​依题意，得点​$ A $​的坐标为​$(0，$​​$8)，$​

点​$ B $​的坐标为​$(6，$​​$0)$​

设直线​$ AB $​的表达式为​$y=kx+8$​

将​$B(6，$​​$0)$​代入，得​$k=-\frac 43$​

∴直线​$ AB $​的表达式为​$y=-\frac 43x+8$​

当​$x=3$​时，​$y=4，$​所以点​$ M $​的坐标为​$(3，$​​$4)$​

​$(2)$​当点​$ P $​在​$ OA $​上，即​$0≤t≤8$​时，​$AP=t$​

所以​$OP=8-t$​

当点​$ P $​在​$OB $​上，即​$8＜t≤14$​时

​$OP=t-8$​

综上所述，​$OP=\begin {cases}{8-t(0≤t≤8)}\\{t -8(8＜t≤14)}\end {cases}$​

​$(3)S_{△OPM}=\frac 12OP·|x_{M}|$​

​$=\frac 12×5×3=\frac {15}2$​

​$(4)$​当​$0≤t≤8$​时，根据题意，

得​$S_{△OPM}=\frac 12OP·|x_{M}|$​

​$=\frac 12×(8-t)×3=6，$​解得​$t=4$​

当​$8＜t≤14$​时，根据题意，

得​$S_{△OPM}=\frac 12OP·|y_{M}|$​

​$=\frac 12×(t-8)×4=6，$​解得​$t=11$​

综上所述，当​$△OPM$​的面积为​$ 6 $​时，

​$t $​的值为​$ 4 $​或​$ 11$​