《2025年作业本江西教育出版社八年级数学上册北师大版》

19. 教材在探索平方差公式时利用了面积法，这种方法不仅可以帮助我们记忆公式，还能直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”。例如，著名的“赵爽弦图”（如图①所示，其中四个直角三角形较长的直角边的长度都为$a$，较短的直角边的长度都为$b$，斜边的长度都为$c$）中的大正方形的面积可以表示为$c^2$，也可以表示为$4×\frac{1}{2}ab+(a - b)^2$，由此推导出重要的勾股定理：直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方，如果用$a$，$b$和$c$分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么$a^2 + b^2 = c^2$。
(1) $1876$年，美国总统伽菲尔德利用图②验证了勾股定理，请你写出验证过程。
(2) 如图③，在$\triangle ABC$中，$AD$是$BC$边上的高，$AB = 4$，$AC = 5$，$BC = 6$，设$BD = x$，求$x$的值。

答案：
(1)证明：由图②可知，梯形面积可表示为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^2，$也可表示为两个直角三角形与一个等腰直角三角形面积之和，即$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2。$则$\frac{1}{2}(a+b)^2=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2，$化简得$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2，$故$a^2 + b^2 = c^2。$
(2)解：设BD=x，则DC=6 - x。在$Rt\triangle ABD$中，$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 4^2 - x^2 = 16 - x^2；$在$Rt\triangle ADC$中，$AD^2 = AC^2 - DC^2 = 5^2 - (6 - x)^2 = 25 - (36 - 12x + x^2) = -11 + 12x - x^2。$所以$16 - x^2 = -11 + 12x - x^2，$解得$x = \frac{9}{4}。$
(1)证明：由图②可知，梯形面积可表示为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^2，$也可表示为两个直角三角形与一个等腰直角三角形面积之和，即$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2。$则$\frac{1}{2}(a+b)^2=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2，$化简得$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2，$故$a^2 + b^2 = c^2。$
(2)解：设BD=x，则DC=6 - x。在$Rt\triangle ABD$中，$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 4^2 - x^2 = 16 - x^2；$在$Rt\triangle ADC$中，$AD^2 = AC^2 - DC^2 = 5^2 - (6 - x)^2 = 25 - (36 - 12x + x^2) = -11 + 12x - x^2。$所以$16 - x^2 = -11 + 12x - x^2，$解得$x = \frac{9}{4}。$